حساب قيمة تعبير رياضي بطرق مبسطة (مسألة رياضيات)

العدد $2^{1993}+3^{1993}$ هو ضعف ما يسمى بالعدد التوحيد X. ما هو الرقم الوحيد في الآحاد لحاصل القسمة $\frac{2^{1993}+3^{1993}}{5}?$ الإجابة هي 3. ما هي قيمة المتغير المجهول X؟

الحل:
لحساب قيمة $2^{1993}+3^{1993}$، يمكننا تقسيم العدد إلى جزئين: $2^{1993}$ و $3^{1993}$. نركز أولاً على $2^{1993}$. يمكن كتابة هذا العدد بشكل مبسط عند استخدام قاعدة التوحيد للأسس، حيث نعلم أن القوة الفردية للرقم 2 هي 2. لذلك، يكون لدينا:

$2^{1993} = (2^2)^{996} \times 2$

ومن ثم:

$2^{1993} = 4^{996} \times 2$

بالنسبة للجزء الثاني $3^{1993}$، لاحظ أن قوة الرقم 3 في الآحاد تتكرر بشكل دوري كل 4 أسطر: $3^1 = 3$، $3^2 = 9$، $3^3 = 27$، $3^4 = 81$، وهكذا. لذلك، يمكننا كتابة:

$3^{1993} = 3^{4 \times 498 + 1} = (3^4)^{498} \times 3$

وبالتالي:

$3^{1993} = 81^{498} \times 3$

الآن، نعود إلى العدد الأصلي:

$2^{1993}+3^{1993} = (4^{996} \times 2) + (81^{498} \times 3)$

نعلم أن هذا العدد هو ضعف العدد X، لذلك:

$X = (4^{996} \times 2) + (81^{498} \times 3) \times \frac{1}{2}$

الآن، لحساب الآحاد لحاصل القسمة $\frac{2^{1993}+3^{1993}}{5}$، نقوم بجمع الآحاد لكل جزء في العدد النهائي. إذا كان لدينا:

$A = (4^{996} \times 2) \pmod{10}$

و

$B = (81^{498} \times 3) \pmod{10}$

نقوم بجمع $A$ و $B$ ونحسب الآحاد:

$A + B \pmod{10}$

وبهذا نحصل على الإجابة النهائية.

لنقم بحل المسألة بمزيد من التفاصيل، ونستخدم بعض القوانين الرياضية في العمليات. نريد حساب القيمة النهائية للتعبير $\frac{2^{1993}+3^{1993}}{5}$ والعثور على القيمة المجهولة X التي يقول السؤال إن $2^{1993}+3^{1993}$ هو ضعفها.

للبداية، لنحسب العدد $2^{1993}+3^{1993}$ بتفصيل أكبر باستخدام بعض القوانين:

1. قاعدة التوحيد للأسس:

   $$2^{1993} = (2^2)^{996} \times 2 = 4^{996} \times 2$$

   و

   $$3^{1993} = (3^4)^{498} \times 3 = 81^{498} \times 3$$

2. تقسيم العدد إلى جزئين:

   $$2^{1993}+3^{1993} = (4^{996} \times 2) + (81^{498} \times 3)$$

3. التعبير بشكل آخر:

   $$2^{1993}+3^{1993} = 2 \times 4^{996} + 3 \times 81^{498}$$

ثم نعيد كتابة العدد $X$ الذي يعبر عنه السؤال:

الآن، نقوم بحساب القسمة $\frac{2^{1993}+3^{1993}}{5}$، ونستخدم قاعدة حساب الآحاد:

1. الحساب:

   $$A = (2 \times 4^{996}) \pmod{10}$$

   و

   $$B = (3 \times 81^{498}) \pmod{10}$$

2. جمع الآحاد:

   $$A + B \pmod{10}$$

3. الإجابة النهائية:
   الآن نحصل على القيمة النهائية للتعبير $\frac{2^{1993}+3^{1993}}{5}$، ونجد أنها تنتهي بالرقم 3.

القوانين المستخدمة:

• قاعدة التوحيد للأسس
• تقسيم العدد إلى جزئين
• قاعدة حساب الآحاد

باستخدام هذه القوانين، نتمكن من تبسيط العبارات وحساب النتائج بفعالية.