مسائل رياضيات

حساب قيمة التعبير الرياضي بالجبر (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 15/01/2024
0

لنكتب المسألة بشكل مختصر:

إذا كانت a,b,c,x,y,z أعداد حقيقية إيجابية وتتحقق المعادلات التالية:a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,فما قيمة التالي:a+b+cx+y+z.\begin{aligned} &\text{إذا كانت } a, b, c, x, y, z \text{ أعداد حقيقية إيجابية وتتحقق المعادلات التالية:} \\ &a^2 + b^2 + c^2 = 25, \quad x^2 + y^2 + z^2 = 36, \quad ax + by + cz = 30, \\ &\text{فما قيمة التالي:} \\ &\frac{a + b + c}{x + y + z}. \end{aligned}

الآن سنقوم بحل المسألة:
لنجد قيمة التعبير المطلوب، سنقوم بتجميع المعادلات المعطاة. إذاً، لدينا:

مواضيع ذات صلة
a2+b2+c2+x2+y2+z2=25+36=61,a^2 + b^2 + c^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 25 + 36 = 61,

و

ax+by+cz=30.ax + by + cz = 30.

الآن سنقوم بربط هذه المعادلات مع القيم المطلوبة في السؤال. نستخدم المعادلة الأولى لتعويض في المعادلة الثانية:

(1)a2+b2+c2+x2+y2+z2=61,(1) \quad a^2 + b^2 + c^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 61,
(2)ax+by+cz=30.(2) \quad ax + by + cz = 30.

المربع الأول يمكن تقسيمه إلى جزئين: جزء يمثل $a^2 + b^2 + c^2$ وجزء يمثل $x^2 + y^2 + z^2$. وباستخدام المعلومات المعطاة، نحصل على:

a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36.a^2 + b^2 + c^2 = 25, \quad x^2 + y^2 + z^2 = 36.

نقوم بتعويض هذه القيم في المعادلة $(1)$:

25+36=61,25 + 36 = 61,

وهذا يؤكد صحة المعلومات المعطاة.

الآن نستخدم المعلومات المتاحة لنجد القيمة المطلوبة. نعوض في المعادلة $(2)$ باستخدام $a^2 + b^2 + c^2 = 25$ و $x^2 + y^2 + z^2 = 36$:

25+36=30,25 + 36 = 30,

وهو يتناقض. لذلك، يبدو أن هناك خطأ في المسألة.

المزيد من المعلومات

لنقم بإعادة كتابة المعادلات الرئيسية وحساب المطلوب باستخدام القوانين الرياضية المناسبة.

المعادلات المعطاة:
a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.a^2 + b^2 + c^2 = 25, \quad x^2 + y^2 + z^2 = 36, \quad ax + by + cz = 30.

نريد حساب قيمة التالي:
a+b+cx+y+z.\frac{a + b + c}{x + y + z}.

لنبدأ بجمع المعادلات الأولى والثانية:
a2+b2+c2+x2+y2+z2=25+36=61.a^2 + b^2 + c^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 25 + 36 = 61.

الآن، لدينا معلومات تقودنا لتحليل الكسور. سنستخدم المعلومات الإضافية لحساب القيم المطلوبة.

لتبسيط الحسابات، نقوم بجمع المعادلات الأولى والثانية بمعادلة الجمع، ونحصل على:
a2+b2+c2+x2+y2+z2+2(ax+by+cz)=61+2⋅30.a^2 + b^2 + c^2 + x^2 + y^2 + z^2 + 2(ax + by + cz) = 61 + 2 \cdot 30.

نستخدم المعلومات المعطاة لتبسيط المعادلة:
61+2⋅30=61+60=121.61 + 2 \cdot 30 = 61 + 60 = 121.

الآن نحصل على:
a2+b2+c2+x2+y2+z2+2(ax+by+cz)=121.a^2 + b^2 + c^2 + x^2 + y^2 + z^2 + 2(ax + by + cz) = 121.

يمكننا كتابة الجزء الأول من هذه المعادلة بصورة مربع كامل:
(a+x)2+(b+y)2+(c+z)2=121.(a + x)^2 + (b + y)^2 + (c + z)^2 = 121.

الآن نستخدم هذه المعلومة لحساب القيمة المطلوبة:
a+b+cx+y+z=(a+x)+(b+y)+(c+z)−(x+y+z)x+y+z.\frac{a + b + c}{x + y + z} = \frac{(a + x) + (b + y) + (c + z) – (x + y + z)}{x + y + z}.

نستخدم الجداء ونحسب:
(a+x)+(b+y)+(c+z)−(x+y+z)x+y+z=121−(x+y+z)x+y+z.\frac{(a + x) + (b + y) + (c + z) – (x + y + z)}{x + y + z} = \frac{121 – (x + y + z)}{x + y + z}.

الآن نستخدم المعلومة الأصلية $x^2 + y^2 + z^2 = 36$ لتبسيط الكسر:
121−(x+y+z)x+y+z=121−366=856.\frac{121 – (x + y + z)}{x + y + z} = \frac{121 – 36}{6} = \frac{85}{6}.

إذاً، قيمة التعبير المطلوبة هي $\frac{85}{6}$.

القوانين المستخدمة:

  1. قانون جمع المربعات.
  2. تحويل المعادلات الأصلية للمعادلات ذات مربعات كاملة.
  3. استخدام القوانين الجبرية لتبسيط المعادلات.
  4. حل المعادلات للحصول على القيم المطلوبة.

اخر تحديث 15/01/2024
0