مسائل رياضيات

حساب قيمة التعبير البنائي (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 19/02/2024
0

قيمة التعبير $\dbinom{10}{8}$ تعبر عن عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة من 8 عناصر من مجموعة تحتوي على 10 عناصر، ويمكن حساب قيمة هذا التعبير باستخدام الصيغة التالية:

(nk)=n!k!(n−k)!\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n – k)!}

حيث أن $n!$ تعبر عن عامل التجميع للعدد $n$ وتمثل حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الإيجابية من 1 إلى $n$. عملية $k!$ هي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الإيجابية من 1 إلى $k$. والاختصار $n – k$ يمثل الفارق بين $n$ و $k$.

مواضيع ذات صلة

لحساب $\dbinom{10}{8}$ نستخدم الصيغة المذكورة:

(108)=10!8!(10−8)!\dbinom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10 – 8)!}

نبدأ بحساب قيمة $10!$ وهو:

10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3,628,80010! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3,628,800

ثم نحسب $8!$:

8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40,3208! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40,320

وأخيراً، نحسب $(10 – 8)!$:

(10−8)!=2!=2×1=2(10 – 8)! = 2! = 2 \times 1 = 2

الآن، نستخدم القيم التي حسبناها لنجد قيمة $\dbinom{10}{8}$:

(108)=10!8!(10−8)!=3,628,80040,320×2=3,628,80080,640=45\dbinom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10 – 8)!} = \frac{3,628,800}{40,320 \times 2} = \frac{3,628,800}{80,640} = 45

إذاً، قيمة التعبير $\dbinom{10}{8}$ هي 45.

المزيد من المعلومات

لحل مسألة حساب قيمة $\dbinom{10}{8}$ بشكل مفصل، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر والتحليل المحوسب. سنقوم بتفصيل الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل:

  1. قانون المثلث العددي (قانون بينوميال نيوتن):
    قانون المثلث العددي يعبر عن توسيع قوانين الأسس باستخدام المثلث العددي، وهو قانون مهم في حسابات الجبر.
    يعرض القانون كالتالي:

    (a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k

    حيث يمثل $\binom{n}{k}$ معامل البناء الذي يعبر عن عدد الطرق لاختيار $k$ عنصرًا من بين $n$ عنصرًا.

  2. قانون العوامل التجميعية:
    يتيح قانون العوامل التجميعية لنا تحويل التعبيرات الأساسية وتجميعها بشكل ملائم للحساب.

  3. قوانين حساب العوامل:
    يتضمن حساب العوامل استخدام قوانين الضرب والقسمة والجمع والطرح بشكل صحيح للأعداد والمتغيرات.

الآن، نعود إلى مسألتنا $\dbinom{10}{8}$:

نريد حساب عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار مجموعة من 8 عناصر من بين مجموعة تحتوي على 10 عناصر.

استخدمنا قانون المثلث العددي لتوسيع $(a+b)^{10}$، حيث $a$ يمثل عدد العناصر التي نريد اختيارها و $b$ يمثل العناصر التي لا نريد اختيارها.

باستخدام هذا القانون، نحصل على:

(a+b)10=∑k=010(10k)a10−kbk(a+b)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} a^{10-k}b^k

حيث:

  • $a$ يمثل عدد العناصر التي نريد اختيارها (8).
  • $b$ يمثل العناصر التي لا نريد اختيارها (2).

نريد الآن معرفة قيمة $\binom{10}{8}$ والتي تعبر عن عدد الطرق لاختيار مجموعة من 8 عناصر من بين 10.

باستخدام الصيغة:

(nk)=n!k!(n−k)!\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n – k)!}

حيث $n = 10$ و $k = 8$، نستخدم القوانين التجميعية للحساب:

(108)=10!8!(10−8)!\dbinom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10 – 8)!}

ثم نقوم بحساب العوامل:

10!=10×9×8!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×110! = 10 \times 9 \times 8! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
8!=8×7×6!=8×7×6×5×4×3×2×18! = 8 \times 7 \times 6! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
(10−8)!=2!(10 – 8)! = 2!

وبعد الحسابات العواملية، نحصل على قيمة $\dbinom{10}{8} = 45$، وهي عدد الطرق لاختيار مجموعة من 8 عناصر من بين 10.

اخر تحديث 19/02/2024
0