حساب قيمة $\sec \frac{5 \pi}{3}$ (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

ابحث عن قيمة $\sec \frac{5 \pi}{3}.$

حل المسألة:

لحساب قيمة $\sec \frac{5 \pi}{3}$، نحتاج إلى معرفة قيمة الدالة الكوسينوس في الزاوية $\frac{5 \pi}{3}$. تذكر أن $\sec x = \frac{1}{\cos x}$.

أولاً، نحدد في أي ربع يقع الزاوية $\frac{5 \pi}{3}$. الزاوية $\frac{5 \pi}{3}$ تقع في الربع الرابع من الدائرة الوحدة، حيث يكون الكوسينوسوس موجبًا.

ثم، نحسب القيمة المطلقة للزاوية داخل الدائرة الوحدة لتكون $\frac{\pi}{3}$، لأن الزاوية المركبة تحتمل دورة كاملة.

ونعرف أن قيمة الكوسينوس في الربع الأول تساوي $\frac{1}{2}$ من جدول قيم الدوال الزائدية.

إذاً، $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

الآن، نحسب قيمة الكوسينوس في الربع الرابع باستخدام التماثل الزاوي: $\cos(\pi – \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

بما أن $\sec x = \frac{1}{\cos x}$، فإن $\sec \frac{5 \pi}{3} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$.

إذاً، $\sec \frac{5 \pi}{3} = -2$.

لنحل المسألة ونحسب قيمة $\sec \frac{5 \pi}{3}$ بتفصيل أكبر، سنستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر والهندسة الفراغية:

1. الدائرة الوحدة: هي دائرة نصف قطرها 1 مركزها في الأصل (نقطة $(0, 0)$) على مستوى الإحداثيات $(x, y)$.

2. الدوال المثلثية: في الدائرة الوحدة، يمكن تعريف الدوال المثلثية مثل السين والكوسين والتانجنت كنسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول القطعة المستقيمة.

3. الزوايا القياسية: الزوايا التي يتم قياسها بالراديان وتعتبر مقاساتها زاويا موجبة أو سالبة تدور حول محور الدائرة الوحدة.

4. القيم المعروفة للدوال المثلثية في الزوايا القياسية: مثل $\frac{\pi}{3}$ و $\frac{\pi}{6}$ حيث تكون القيم المعروفة للسين والكوسين والتانجنت في هذه الزوايا.

5. التماثل الزاوي: يمكن استخدامه لتحديد قيم الدوال في الربع المقابل لربع معروف.

الآن، دعنا نطبق هذه القوانين على حساب $\sec \frac{5 \pi}{3}$:

1. نعرف أن $\sec x = \frac{1}{\cos x}$.

2. لنحدد موقع الزاوية $\frac{5 \pi}{3}$ على الدائرة الوحدة. الزاوية تقع في الربع الرابع حيث يكون الكوسينوس موجبا.

3. نقوم بتحويل الزاوية إلى الربع الأول لسهولة حساب القيمة. لذلك، نستخدم التماثل الزاوي ونعرف أن $\frac{5 \pi}{3} = \pi – \frac{\pi}{3}$.

4. نعرف أن قيمة الكوسينوس في الزاوية $\frac{\pi}{3}$ هي $\frac{1}{2}$ (من جدول قيم الدوال في الربع الأول).

5. بالتالي، $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ ونستخدم خاصية التماثل للحصول على $\cos \frac{5 \pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

6. بما أن $\sec x = \frac{1}{\cos x}$، فإن $\sec \frac{5 \pi}{3} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$.

إذاً، قيمة $\sec \frac{5 \pi}{3} = -2$.