مسائل رياضيات

حساب قيمة m+b بواسطة انعكاس النقاط (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 29/12/2023
0

الصورة المرآوية للنقطة ذات الإحداثيات $(-3,-1)$ عبر الانعكاس عبر خط $y=mx+b$ هي النقطة ذات الإحداثيات $(5,3)$. لنقم بحساب قيمة $m+b$.

عند الانعكاس حول مستقيم $y=mx+b$، يتم استخدام الصيغة التالية:

مواضيع ذات صلة
(x′,y′)=((1−m2)x−2m(y−b)1+m2,(2m(x−b)+y(1−m2))1+m2)(x’, y’) = \left(\frac{(1-m^2)x-2m(y-b)}{1+m^2}, \frac{(2m(x-b)+y(1-m^2))}{1+m^2}\right)

حيث $(x’, y’)$ هي النقطة المعكوسة للنقطة $(x, y)$. في هذه الحالة، نعلم أن $(x, y) = (-3, -1)$ و$(x’, y’) = (5, 3)$.

لحساب $m+b$، يجب أولاً تحديد قيم $m$ و $b$. نستخدم القاعدة التي تقول إن النقطة $(x, y)$ تكون معكوسة للنقطة $(x’, y’)$ عبر الخط $y=mx+b$ إذا كانت النقطتين متماثلتين بالنسبة للخط.

نقوم بمطابقة المعادلات:

(1−m2)x−2m(y−b)1+m2=5(2m(x−b)+y(1−m2))1+m2=3\begin{align*} \frac{(1-m^2)x-2m(y-b)}{1+m^2} &= 5 \\ \frac{(2m(x-b)+y(1-m^2))}{1+m^2} &= 3 \end{align*}

باستبدال القيم المعروفة $(x, y) = (-3, -1)$ و $(x’, y’) = (5, 3)$، نحصل على نظام المعادلات التالي:

(1−m2)(−3)−2m((−1)−b)1+m2=5(2m((−3)−b)+((−1))(1−m2))1+m2=3\begin{align*} \frac{(1-m^2)(-3)-2m((-1)-b)}{1+m^2} &= 5 \\ \frac{(2m((-3)-b)+((-1))(1-m^2))}{1+m^2} &= 3 \end{align*}

بعد حساب هذا النظام، نحصل على قيم لـ $m$ و $b$. بعد ذلك، يمكننا حساب $m+b$.

المزيد من المعلومات

لحل هذه المسألة، سنستخدم قاعدة انعكاس النقطة عبر الخط $y=mx+b$. تذكر أن عند انعكاس نقطة $(x, y)$ عبر هذا الخط، يتم استخدام الصيغة التالية:

(x′,y′)=((1−m2)x−2m(y−b)1+m2,(2m(x−b)+y(1−m2))1+m2)(x’, y’) = \left(\frac{(1-m^2)x-2m(y-b)}{1+m^2}, \frac{(2m(x-b)+y(1-m^2))}{1+m^2}\right)

حيث $(x’, y’)$ هي النقطة المعكوسة للنقطة $(x, y)$.

القوانين المستخدمة في هذا الحل:

  1. صيغة الانعكاس عبر الخط $y=mx+b$:

    (x′,y′)=((1−m2)x−2m(y−b)1+m2,(2m(x−b)+y(1−m2))1+m2)(x’, y’) = \left(\frac{(1-m^2)x-2m(y-b)}{1+m^2}, \frac{(2m(x-b)+y(1-m^2))}{1+m^2}\right)

  2. تحديد قيم $m$ و $b$:
    نستخدم المعلومات المعطاة في المسألة حول النقط المعكوسة لتحديد قيم $m$ و $b$.

  3. حساب $m+b$:
    بعد تحديد قيم $m$ و $b$، نقوم بجمعهما للحصول على الإجابة المطلوبة.

الآن دعونا نقوم بتحليل المعطيات وحساب القيم:

نعلم أن النقطة $(x, y) = (-3, -1)$ والنقطة المعكوسة $(x’, y’) = (5, 3)$.

نستخدم هذه المعلومات في صيغة الانعكاس:

x′=(1−m2)(−3)−2m((−1)−b)1+m2y′=2m((−3)−b)+(−1)(1−m2)1+m2\begin{align*} x’ &= \frac{(1-m^2)(-3) – 2m((-1)-b)}{1+m^2} \\ y’ &= \frac{2m((-3)-b) + (-1)(1-m^2)}{1+m^2} \end{align*}

باستخدام قيم $(x’, y’) = (5, 3)$ و $(x, y) = (-3, -1)$، نحصل على نظام معادلات:

5=(1−m2)(−3)−2m((−1)−b)1+m23=2m((−3)−b)+(−1)(1−m2)1+m2\begin{align*} 5 &= \frac{(1-m^2)(-3) – 2m((-1)-b)}{1+m^2} \\ 3 &= \frac{2m((-3)-b) + (-1)(1-m^2)}{1+m^2} \end{align*}

حل هذا النظام يعطي قيمًا لـ $m$ و $b$، وبعد ذلك يمكن حساب $m+b$.

اخر تحديث 29/12/2023
0