حساب قيمة arccos(sqrt(3)/2) بالراديان (مسألة رياضيات)

قيمة $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$ بالراديان هي $\frac{\pi}{6}$. يمكننا حساب هذه القيمة عن طريق النظر إلى دائرة الوحدة حيث يمثل $\arccos x$ الزاوية التي يكون فيها الكوساين قيمة $x$. في هذه الحالة، نعلم أن $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$، لذا $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

لفهم ذلك بشكل أفضل، دعونا نتذكر أن الدائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها واحد تركز في المنتصف (المبدأ الأصلي). قيمة $\cos \theta$ تمثل إحداثي x للنقطة على الدائرة حينما يكون زاوية $\theta$ بين الشعاع الذي يربط المنتصف بتلك النقطة والمحور الأفقي. بالنظر إلى الدائرة الوحدة، نجد أنه عندما تكون $\theta = \frac{\pi}{6}$، يكون الكوساين قيمة $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

بالتالي، قيمة $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$ هي الزاوية التي يكون فيها الكوساين قيمة $\frac{\sqrt{3}}{2}$، وهي تتوافق مع $\frac{\pi}{6}$ بالراديان.

لحل مسألة قيمة $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$ بالراديان، يمكننا الاعتماد على بعض القوانين والمفاهيم في الجبر والهندسة الفراغية. لنقم بتفصيل الحل:

1. المعرفة الأولية:
   يفيد فهم أساسيات الدائرة الوحدة حيث يتمثل $\arccos x$ في الزاوية التي يكون فيها الكوساين قيمة $x$. في حالتنا، نعلم أن $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. استخدام القاعدة:
   يمكن استخدام قاعدة الزاوية المزدوجة، حيث أن $\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta – 1$. في حالتنا، نريد حساب $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$، لذا سنستخدم $\theta = \frac{\pi}{6}$. بتعويض قيمة $\theta$ في القاعدة، نحصل على:

   $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) – 1$

   حيث أن $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ و$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. حساب $\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$:
   من المعرفة الأولية، نعلم أن $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$، لذا:

   $\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

4. تعويض القيم في القاعدة:
   الآن، يمكننا تعويض قيم $\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$ في القاعدة:

   $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \times \frac{3}{4} – 1 = \frac{3}{2} – 1 = \frac{1}{2}$

5. حساب الزاوية:
   لحساب الزاوية، نستخدم العكسية $\arccos$ للحصول على النتيجة النهائية:

   $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

بهذا الشكل، نحصل على قيمة $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$ بالراديان باستخدام القوانين المتعلقة بالكوساين والزوايا في الدائرة الوحدة.