مسائل رياضيات

حساب قوة مصفوفة وتحديد قيمة متغير. (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 16/02/2024
0

لنقم أولاً بحساب قوة المصفوفة $\mathbf{A}$ حتى الدرجة 100. يمكننا ملاحظة أنه بعد كل ثلاثة أسس مرات، تعود المصفوفة إلى المصفوفة الهوية:

A3=A×A×A=(00110001X)×(00110001X)×(00110001X)\mathbf{A}^3 = \mathbf{A} \times \mathbf{A} \times \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & X \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & X \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & X \end{pmatrix}
=(01X001100)×(00110001X)=(10001X001)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & X \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & X \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & X \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

لذا، بعد كل مضاعفة، يتغير السطر الثالث فقط. بالتالي:

مواضيع ذات صلة
A3n=(10001X001)n\mathbf{A}^{3n} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & X \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^n

حيث $n$ عدد صحيح.

الآن، نحتاج إلى حساب $\mathbf{A}^{100}$.

A100=A3×33+1=(A3)33×A\mathbf{A}^{100} = \mathbf{A}^{3 \times 33 + 1} = (\mathbf{A}^3)^{33} \times \mathbf{A}
=(10001X001)33×(00110001X)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & X \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{33} \times \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & X \end{pmatrix}

نرى أنه بعد كل 3 أساسات، يعود السطر الثالث إلى 1، لذا:

(10001X001)33=(10001X001)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & X \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{33} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & X \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

وبالتالي:

A100=(10001X001)×(00110001X)\mathbf{A}^{100} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & X \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & X \end{pmatrix}
=(00110001X)= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & X \end{pmatrix}

إذاً، القيمة المجهولة $X$ هي 0.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة وحساب قيمة $\mathbf{A}^{100}$ وتحديد قيمة المتغير المجهول $X$، نحتاج إلى فهم قوانين الأسس والضرب للمصفوفات.

  1. قوانين الأسس (Exponent Laws for Matrices):

    • لضرب مصفوفة في نفسها عدة مرات، نحتاج إلى معرفة كيفية تكرار العمليات وكيفية التعامل مع الأسس.
    • عندما نقوم برفع المصفوفة إلى قوة، يتم تطبيق العمليات داخل المصفوفة عدة مرات وفقًا للأسس.

  2. الضرب في المصفوفات (Matrix Multiplication):

    • قوانين ضرب المصفوفات تتطلب اهتمامًا خاصًا بترتيب الصفوف والأعمدة وتطبيق القواعد الصحيحة للضرب.
    • ضرب مصفوفة بأخرى يتم عن طريق جمع حاصل ضرب الصفوف في المصفوفة الأولى بالأعمدة في المصفوفة الثانية.

الآن، لنحسب $\mathbf{A}^{100}$:

  1. نلاحظ أنه بعد كل 3 مضاعفات، يعود السطر الثالث في المصفوفة $\mathbf{A}$ إلى القيمة الأولى.
  2. بالتالي، نحتاج إلى معرفة كم عدد المضاعفات المتبقية قبل أن نصل إلى 100 لكي نتمكن من حساب $\mathbf{A}^{100}$.
  3. بعد ذلك، نضرب المصفوفة $\mathbf{A}$ بنفسها هذا العدد المناسب من المرات ونضرب الناتج بالمصفوفة $\mathbf{A}$ للمرة الأخيرة.
  4. نحصل بذلك على قيمة $\mathbf{A}^{100}$.

بعد حساب $\mathbf{A}^{100}$، نقارن النتيجة مع المصفوفة المعطاة، ونستخرج قيمة المتغير المجهول $X$ من النتيجة المعطاة.

اخر تحديث 16/02/2024
0