حساب عوامل الأعداد الأولية

عندما يكون $n$ عدد صحيح إيجابي أقل من 200، ويكون $\frac{14n}{60}$ عدد صحيح، فإن عدد $n$ يحتوي على عدد متنوع من العوامل الأولية الإيجابية. لنقم بحساب عدد هذه العوامل.

لحساب عدد العوامل الأولية لعدد $n$، نقوم بتحليل العدد إلى أول عوامله الأولية. في هذه الحالة، يتوجب علينا التأكد من أن النسبة $\frac{14n}{60}$ تكون عددًا صحيحًا.

لنحسب النسبة:
$\frac{14n}{60} = \frac{7n}{30}$

التي يجب أن تكون عددًا صحيحًا. الآن نقوم بتحليل $30$ إلى عوامله الأولية:
$30 = 2 \times 3 \times 5$

نرى أن $7n$ يجب أن يحتوي على عامل 2 وعامل 3 وعامل 5 ليكون الناتج عددًا صحيحًا. لكي يحدث ذلك، يجب أن يحتوي $n$ على هؤلاء العوامل الأولية.

لحساب عدد العوامل الأولية لـ $n$، يمكننا حساب عدد الطرق التي يمكن فيها توليد $n$ باستخدام هذه العوامل. نأخذ كل عامل أولي ونرى كم مرة يمكن أن يظهر في $n$.

بالتالي، عدد العوامل الأولية المختلفة لـ $n$ يكون هو حاصل ضرب هذه الأعداد.

لنفرض أن:
$n = 2^a \times 3^b \times 5^c$

حيث $a$، $b$، و $c$ هي أعداد صحيحة. الآن، نحسب عدد القيم الممكنة لكل منها بحيث تظل النسبة $\frac{7n}{30}$ عددًا صحيحًا.

لحل هذه المسألة، نستخدم قوانين حسابية وخوارزميات تحليل الأعداد الصحيحة. سنبدأ بتحليل النسبة $\frac{7n}{30}$ إلى عواملها الأولية لضمان أنها عدد صحيح.

قوانين المستخدمة:

1. تحليل الأعداد إلى عوامل أولية: يتضمن هذا الخطوات لفحص الأعداد وتحليلها إلى حاصل ضرب عواملها الأولية.
2. شرط صحة النسبة: لضمان أن النسبة $\frac{7n}{30}$ عددًا صحيحًا.

لنقم بتحليل النسبة:
$\frac{7n}{30} = \frac{7 \times 2 \times 3 \times 5 \times n}{2 \times 3 \times 5}$

يُلاحظ أن العوامل 2 و 3 و 5 موجودة في النسبة، وبالتالي يمكن إلغاءها.

$\frac{7n}{30} = 7 \times n$

الآن، نعلم أن $7 \times n$ يجب أن يكون عددًا صحيحًا. ولكي يكون كذلك، يجب أن يكون $n$ يحتوي على عامل 7. لاحظ أن 7 هو عدد أولي، وبالتالي، لن يكون لدينا أعداد أولية إضافية تأتي من 7.

لحساب عدد الطرق المختلفة التي يمكن فيها توليد $n$ باستخدام هذا العامل الأولي، يمكننا تحديد كم مرة يظهر عامل 7 في $n$. لذلك، يمكننا كتابة $n$ على الشكل التالي:
$n = 7^x \times \text{(عوامل أولية أخرى)}$

حيث $x$ هو عدد صحيح يحدد كم مرة يظهر عامل 7 في $n$. الآن نقوم بحساب قيم ممكنة لـ $x$ بحيث تظل النسبة $\frac{7n}{30}$ عددًا صحيحًا.

لدينا:
$\frac{7n}{30} = \frac{7 \times 7^x \times \text{(عوامل أولية أخرى)}}{2 \times 3 \times 5}$

يجب أن تكون النسبة عددًا صحيحًا، لذا يجب أن يكون مجموع أسس العوامل الأولية الموجودة في النسبة متوازنًا مع المقام. يعني ذلك أن عامل 7 يجب أن يظهر بمضاعفات من 30 في العدد $n$.

الحل:
$n = 7^x \times (2^y \times 3^z \times 5^w)$

حيث $x$، $y$، $z$، و $w$ هي أعداد صحيحة إيجابية، ونستخدمها لحساب عدد العوامل الأولية لـ $n$.

هكذا، نحسب عدد العوامل الأولية لـ $n$ باستخدام القوانين المذكورة أعلاه ونحدد قيم ممكنة للأعداد $x$، $y$، $z$، و $w$ التي تحقق الشرط المطلوب لصحة النسبة $\frac{7n}{30}$.