مسائل رياضيات

حساب عكس المصفوفات والضرب: مسألة حل وتطبيق. (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 01/02/2024
0

إذا كانت $\mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 1 \ 0 & X \end{pmatrix}$، فإنه علينا إيجاد عكس $\mathbf{A}^2$. أولاً، سنجد عكس $\mathbf{A}$ ومن ثم نربعه.

لحساب عكس مصفوفة $2 \times 2$، نستخدم الصيغة التالية:

مواضيع ذات صلة

إذا كانت $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$، فإن $\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}$

بما أن $\mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 1 \ 0 & X \end{pmatrix}$، فإننا نستنتج أن:
ad−bc=(−4)⋅X−(0)⋅(1)=−4Xad – bc = (-4) \cdot X – (0) \cdot (1) = -4X

لكننا نعلم أن $ad – bc = 1$ للمصفوفات ذات الطولين، لذلك:
−4X=1  ⟹  X=−14-4X = 1 \implies X = -\frac{1}{4}

الآن، بمعرفة قيمة $X$، يمكننا أن نحسب عكس $\mathbf{A}$، حيث:
A−1=(−410−14)\mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 0 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}

الآن، لحساب عكس $\mathbf{A}^2$، نستخدم الخاصية التالية:
(A2)−1=(A−1)2(\mathbf{A}^2)^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^2

حيث
(A−1)2=(−410−14)2(\mathbf{A}^{-1})^2 = \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 0 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}^2

لنحسب العكس:
(A−1)2=((−4)(1)(0)(−14))2(\mathbf{A}^{-1})^2 = \begin{pmatrix} (-4) & (1) \\ (0) & \left(-\frac{1}{4}\right) \end{pmatrix}^2
=(16−40116)= \begin{pmatrix} 16 & -4 \\ 0 & \frac{1}{16} \end{pmatrix}

إذاً، العكس لـ $\mathbf{A}^2$ هو:
(A2)−1=(16−40116)(\mathbf{A}^2)^{-1} = \begin{pmatrix} 16 & -4 \\ 0 & \frac{1}{16} \end{pmatrix}

المزيد من المعلومات

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين الخاصة بالعمليات الجبرية على المصفوفات. الهدف الرئيسي هو إيجاد عكس $\mathbf{A}^2$ باستخدام المعلومات المعطاة حول عكس $\mathbf{A}$ وقيمة المتغير $X$.

القوانين والخطوات التي سنستخدمها:

  1. قانون حساب عكس المصفوفة: إذا كانت $\mathbf{A}$ مصفوفة غير منتظمة، يمكننا حساب عكسها عن طريق الصيغة:

A−1=1ad−bc(d−b−ca)\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

حيث $ad – bc$ هو محدد التصفيف.

  1. قانون تركيب المصفوفات: يمكننا تركيب المصفوفات باستخدام العمليات الجبرية الأساسية، مثل الجمع والضرب.

الآن، دعونا نقوم بحل المسألة:

من المعطيات، نعلم أن:
A−1=(−410X)\mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 0 & X \end{pmatrix}

ونريد أن نجد $\mathbf{A}^2$.

لحساب $\mathbf{A}$، نستخدم الصيغة لعكس المصفوفة:
A−1=1ad−bc(d−b−ca)\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

مقارنة بين المعطيات والصيغة، نلاحظ أن:
a=−4,b=1,c=0,d=Xa = -4, \quad b = 1, \quad c = 0, \quad d = X

نستخدم هذه القيم لحساب $ad – bc$:
(−4)(X)−(0)(1)=−4X(-4)(X) – (0)(1) = -4X

ومن المعطيات، $ad – bc = 1$، لذلك:
−4X=1  ⟹  X=−14-4X = 1 \implies X = -\frac{1}{4}

الآن، بعد حساب قيمة $X$، نعرف أن مصفوفة $\mathbf{A}$ هي:
A=(−410−14)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 0 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}

الآن، لحساب $\mathbf{A}^2$، نقوم بالضرب:
A2=A×A=(−410−14)×(−410−14)\mathbf{A}^2 = \mathbf{A} \times \mathbf{A} = \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 0 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 0 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}

حساب الضرب يعطينا المصفوفة $\mathbf{A}^2$.

بعد الحساب، نحصل على:
A2=(16−40116)\mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 16 & -4 \\ 0 & \frac{1}{16} \end{pmatrix}

هذا هو حل المسألة الذي يتضمن استخدام القوانين الجبرية لحساب عكس المصفوفة والضرب بين المصفوفات.

اخر تحديث 01/02/2024
0