حساب عدد نقاط تقاطع الدوائر

عدد أقصى من النقاط التي يمكن أن تتقاطع فيها 10 دوائر بأشعار مختلفة. لنقم بحساب هذا العدد بشكل دقيق.

لدينا 10 دوائر، ولنفترض أن لدينا دائرتين عشوائيتين من بينها. يمكن للدائرتين أن تتقاطعان في نقطتين على الأكثر، وهذا يحدث عندما تكون الدائرتين تتشابك بشكل كبير. لذلك يمكننا اختيار نقطة واحدة فقط للتقاطع بين كل زوج من الدوائر.

إذا كان لدينا 10 دوائر ونريد حساب عدد النقاط التي يمكن أن تتقاطع فيها، يمكننا استخدام مبدأ الاقتران. عدد الاقترانات يمكن حسابه بواسطة الصيغة التالية:

$\text{عدد الاقترانات} = \frac{n \times (n-1)}{2}$

حيث $n$ هو عدد الدوائر. في هذه الحالة، $n = 10$. لذا:

$\text{عدد النقاط} = \frac{10 \times (10-1)}{2}$

$= \frac{10 \times 9}{2}$

$= \frac{90}{2}$

$= 45$

إذا كان لدينا 10 دوائر مختلفة الأحجام، يمكن أن تتقاطع في أكثر من 45 نقطة.

لحساب عدد النقاط التي يمكن أن تتقاطع فيها 10 دوائر مختلفة الأحجام، يمكننا استخدام مفهوم الاقترانات والتعبير الرياضي لتحديد هذا العدد. سنقوم بشرح الحل بالتفصيل مع استخدام القوانين الرياضية المعتمدة.

لنفترض أن لدينا $n$ دوائر، حيث في هذه الحالة $n = 10$. يمكن لأي زوج من الدوائر أن يتقاطع في نقطتين على الأكثر. لحساب عدد الاقترانات، نستخدم الصيغة:

$\text{عدد الاقترانات} = \frac{n \times (n-1)}{2}$

حيث $n$ هو عدد الدوائر. في حالتنا، $n = 10$، لذا:

$\text{عدد الاقترانات} = \frac{10 \times (10-1)}{2}$

$= \frac{10 \times 9}{2}$

$= \frac{90}{2}$

$= 45$

لذا، يمكن أن تتقاطع الدوائر في 45 نقطة. الآن، بما أن لدينا أكثر من دائرة واحدة، قد يكون هناك بعض التقاطعات المشتركة بين بعض الدوائر، ولذلك يمكن أن يكون إجمالي عدد النقاط أكبر من 45.

لحساب هذا الإجمالي، يمكننا استخدام مبدأ الجمع. يتم ذلك عن طريق جمع عدد النقاط من جميع الاقترانات بين الدوائر. لدينا 45 اقترانًا، لكن نحن نحتاج إلى حساب عدد النقاط في كل اقتران. إذا كان لدينا اثنين من الاقترانات تتشارك في نقطة واحدة على الأقل، فإنها تشترك في تلك النقطة واحدة. لذا يكون العدد الإجمالي للنقاط هو 45 + عدد النقاط المشتركة.

الآن، بالنسبة للقوانين المستخدمة:

1. مبدأ الاقترانات: هذا المبدأ يستخدم لحساب عدد الاقترانات بين العناصر في مجموعة معينة.

$\text{عدد الاقترانات} = \frac{n \times (n-1)}{2}$

2. مبدأ الجمع: يستخدم لحساب إجمالي عدد النقاط عن طريق جمع النقاط من جميع الاقترانات.

$\text{إجمالي عدد النقاط} = \text{عدد النقاط الفردية} + \text{عدد النقاط المشتركة}$

هذه القوانين تعكس الأساس الرياضي الذي تم استخدامه في الحسابات.