حساب عدد الفوارق الصحيحة الإيجابية (مسألة رياضيات)

عدد الأعداد الصحيحة الإيجابية التي يمكن الحصول عليها عن طريق طرح عددين متميزين من المجموعة ${1, 2, 3, \ldots, 14, 15, 16}$ هو 120.

لحل هذه المسألة، يمكننا النظر إلى العمليات الفردية الممكنة. عندما نقوم بطرح عددين من هذه المجموعة، نحصل على فارق يكون عددًا صحيحًا إيجابيًا. لنحسب عدد الفرق الممكنة، نحتاج إلى النظر إلى كل زوج من الأعداد المختارة من المجموعة وحساب الفارق بينهما.

المجموعة تحتوي على 16 عددًا، وعند اختيار عددين منها، هناك $\binom{16}{2}$ طريقة للقيام بذلك، حيث $\binom{n}{r}$ هو الرمز الرياضي للترتيبات اللا تكرارية لاختيار $r$ عنصرًا من مجموعة تحتوي على $n$ عنصر.

لدينا:
$\binom{16}{2} = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$

إذاً، هناك 120 فارقًا صحيحًا إيجابيًا يمكن الحصول عليها عن طريق طرح عددين متميزين من المجموعة المعطاة.

لحل هذه المسألة وحساب عدد الفارق الصحيحة الإيجابية التي يمكن الحصول عليها من طرح عددين مختلفين من المجموعة، يمكننا الاعتماد على القوانين التي تنطبق على الجمع والطرح في الأعداد الصحيحة.

في هذه المسألة، نعلم أننا نختار عددين من مجموعة الأعداد ${1, 2, 3, \ldots, 14, 15, 16}$، ونقوم بطرحهما للحصول على فارق صحيح إيجابي. لتحديد عدد الطرق الممكنة لاختيار هذين العددين، نستخدم مبدأ الترتيبات اللا تكرارية.

المبدأ: عدد الترتيبات اللا تكرارية لاختيار $r$ عنصرًا من مجموعة تحتوي على $n$ عنصر يُمثله $\binom{n}{r}$، ويُحسب بواسطة الصيغة:
$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

في هذه المسألة، نريد اختيار 2 عنصر من مجموعة تحتوي على 16 عنصرًا، لذا نستخدم $\binom{16}{2}$ لحساب عدد الطرق الممكنة. قيمة هذه الاستمارة هي:
$\binom{16}{2} = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$

بعد أن قمنا بحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار العددين، نعلم أن كل اختيار يؤدي إلى فارق صحيح إيجابي. لذا، هناك 120 فارقًا صحيحًا إيجابيًا يمكن الحصول عليها عن طريق طرح عددين متميزين من المجموعة المعطاة.

لذا، القوانين المستخدمة هي قوانين الترتيبات اللا تكرارية، والحسابات البسيطة للفاصل العددي.