حساب عدد العوامل للمنتج الناتج عن 7 أعداد أولية

إذا كان $x$ هو حاصل ضرب 7 أعداد أولية متميزة، فكم هو عدد العوامل التي يمتلكها $x$ بخلاف العدد 1 ونفسه؟

حل المسألة:

لفهم عدد العوامل لدينا هنا، يمكننا استخدام قاعدة تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية. إذا كان $x$ عبارة عن حاصل ضرب 7 أعداد أولية متميزة، فإن أي عدد أولي آخر لن يكون جزءًا من تلك الأعداد. لدينا تكوينٌ فريد للعدد $x$.

لحساب عدد العوامل، يمكننا استخدام قاعدة تتعلق بأعداد الأولية وعواملها. إذا كان لدينا عدد أولي مرفوع لأية قوة $n$، فإن عدد العوامل المميزة التي يمتلكها يكون $n + 1$. وذلك لأنه يمكننا رفع هذا العدد إلى أية قوة من 0 إلى $n$.

إذا كان $x$ يتألف من 7 أعداد أولية متميزة، فإن عدد العوامل المميزة لديه سيكون:
$(1 + 1) \times (1 + 1) \times (1 + 1) \times (1 + 1) \times (1 + 1) \times (1 + 1) \times (1 + 1)$

وهذا يساوي:
$2^7$

لذا، $x$ سيكون لديه $2^7$ عاملًا مختلفًا بخلاف 1 ونفسه.

بسم الله الرحمن الرحيم،

لنحل هذه المسألة، نحتاج أولاً إلى فهم القوانين والمفاهيم المتعلقة بعدد العوامل وتحليل الأعداد الأولية.

1. تحليل الأعداد الأولية (Prime Factorization):
   يشير إلى تفكيك عدد إلى حاصل ضرب أعداد أولية. في هذه المسألة، $x$ هو حاصل ضرب 7 أعداد أولية متميزة.

2. عدد العوامل لعدد أولي مرفوع لقوة (Number of Factors of a Prime Raised to a Power):
   إذا كان عددٌ أوليًا $p$ مرفوعًا لقوة $n$، فإن عدد العوامل المميزة له يكون $n + 1$. هذا لأنه يمكننا أن نأخذ قوى $p$ من 0 إلى $n$.

3. قاعدة ضرب الأعداد:
   عندما نقوم بضرب عددين، يمكننا جمع أقواس الأعداد الأولية للحصول على تحليلهم الأولي.

الآن، لنحسب عدد العوامل لـ $x$، نأخذ في اعتبارنا أن $x$ هو حاصل ضرب 7 أعداد أولية متميزة. لنقم بتحليله:

$x = p_1 \times p_2 \times p_3 \times p_4 \times p_5 \times p_6 \times p_7$

حيث $p_1, p_2, …, p_7$ هي أعداد أولية متميزة.

الآن، لنحسب عدد العوامل. إذا كان كل $p_i$ عددًا أوليًا مرفوعًا لقوة 1 (أي $p_i$ بذاتها)، فسيكون لدينا 2 عامل (1 ونفسه). وبما أن هناك 7 عوامل من هذا النوع، يكون لدينا:

$(2) \times (2) \times (2) \times (2) \times (2) \times (2) \times (2)$

الآن، لنقوم بحساب هذا:

$2^7 = 128$

إذا، عدد العوامل لـ $x$ هو 128 بخلاف 1 ونفسه. هذا هو العدد النهائي للعوامل.

باختصار، استخدمنا قاعدة تحليل الأعداد الأولية وعدد العوامل لعدد أولي مرفوع لقوة للوصول إلى الإجابة.