حساب عدد الطرق في اختيار فريق رياضيات (مسألة رياضيات)

في نادي رياضيات يتكون من 6 فتيان و 8 فتيات، يجب اختيار فريق مكون من 6 أشخاص للمشاركة في مسابقة الرياضيات الولائية. كم طريقة مختلفة يمكن اختيار الفريق بها دون أي قيود؟

لحساب عدد الطرق المختلفة لاختيار فريق من 6 أشخاص دون قيود، يمكننا استخدام مبدأ الاختيارات المتسلسلة.

أولاً، لنحسب عدد الطرق لاختيار 6 أشخاص من مجموع الأعضاء في النادي. الإجمالي هو مجموع الفتيان والفتيات:
$6 + 8 = 14$

الآن، نحتاج إلى اختيار 6 أشخاص من بين هؤلاء 14. هذا يمثل اختيار ترتيبي للأعضاء، حيث يهم ترتيب الأعضاء في الفريق.

عدد الطرق لاختيار 6 أشخاص من بين 14 بناء على المبدأ السابق يكون:

$14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9$

لكن هذا الحساب يأخذ بالاعتبار الترتيب، ولكن في هذه المسألة، الأمر لا يهم، لذا يجب علينا قسمة الناتج على عدد الطرق لترتيب 6 أشخاص:

$6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

هذا يعطينا الإجابة النهائية:

$\frac{{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}}{{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}$

حيث يمكن إجراء الحسابات وتبسيط العبارة لتقليل الأعداد والحسابات:

$\frac{{3003}}{{720}} = 4.17$

إذاً، هناك 3003 طريقة مختلفة يمكن بها اختيار فريق من 6 أشخاص من بين الأعضاء في النادي دون أي قيود.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام قوانين الاحتمالات والتحليل المجموعاتي. هنا سنستخدم مبدأ الاختيارات المتسلسلة ومبدأ الجمع.

قوانين مهمة في الحل:

1. مبدأ الاختيارات المتسلسلة (Permutations): يستخدم لحساب عدد الطرق المختلفة التي يمكن أن يحدث فيها ترتيب معين لمجموعة من العناصر. للعناصر الـ $n$ يمكن ترتيبها في ترتيب $n!$ حيث $n!$ هو العدد الكامل للعناصر.

2. مبدأ الجمع (Addition Principle): يستخدم لحساب الناتج الإجمالي عن طريق جمع النواتج الفردية لسيناريوهات مختلفة.

الآن دعونا نطبق هذه القوانين على المسألة:

1. نحتاج إلى اختيار فريق مكون من 6 أشخاص من بين مجموعة الفتيان والفتيات.
2. يمكننا استخدام مبدأ الاختيارات المتسلسلة لحساب عدد الطرق لاختيار 6 أشخاص من بين 14 شخصًا في المجموعة.
3. لكل طريقة لاختيار الفريق، لا يهم ترتيب الأعضاء في الفريق، لذا يجب علينا قسمة الناتج على عدد الطرق لترتيب 6 أشخاص.

بالتالي، العدد الإجمالي للطرق يحسب على النحو التالي:

$\text{عدد الطرق} = \frac{{14!}}{{6! \times (14-6)!}}$

حيث:

• $14!$ هو عدد الطرق لاختيار 6 أشخاص من بين 14 شخصًا.
• $6!$ هو عدد الطرق لترتيب 6 أشخاص.
• $(14-6)!$ هو عدد الطرق للأشخاص الباقين.

بعد الحساب، سنحصل على العدد الإجمالي للطرق، والذي يمثل عدد الفرق الممكنة لاختيار فريق من 6 أشخاص من بين الفتيان والفتيات.