مسائل رياضيات

حساب عدد الأرقام: تحليل تعبير الأسس. (مسألة رياضيات)

قيمة التعبير $2^{12} \times 5^8$ تمثل ضرب قوى للأعداد 2 و 5. لحساب هذه القيمة، يمكن استخدام قاعدة الأسس التي تقول أنه يمكن ضرب الأسس معا إذا كانت القواعد متساوية، ويمكن جمع الأسس إذا كانت القواعد متساوية.

لذلك، نستخدم القوانين التالية:

am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}

حيث $a$ هو الأساس و $m$ و $n$ هما الأسس.

بالتطبيق على المسألة:

212×58=212×582^{12} \times 5^8 = 2^{12} \times 5^8

نعلم أن $2^2 = 4$، $2^3 = 8$، $2^4 = 16$، $2^5 = 32$، $2^6 = 64$، و $2^7 = 128$.

ومن ثم:

212=27×25=128×322^{12} = 2^7 \times 2^5 = 128 \times 32
52=25,53=125,54=6255^2 = 25, \quad 5^3 = 125, \quad 5^4 = 625

وإذاً:

58=(54)2=62525^8 = (5^4)^2 = 625^2

الآن نحسب الناتج:

212×58=(128×32)×(625×625)2^{12} \times 5^8 = (128 \times 32) \times (625 \times 625)
=(128×32)×(6252)= (128 \times 32) \times (625^2)
=(27×25)×(54)2= (2^7 \times 2^5) \times (5^4)^2
=27+5×54×2= 2^{7+5} \times 5^{4 \times 2}
=212×58= 2^{12} \times 5^8

نلاحظ أن الأسس تتجمع مع بعضها البعض لتعطي الناتج النهائي للأس. لذا، نحصل على:

212×58=108+122^{12} \times 5^8 = 10^{8+12}
=1020= 10^{20}

يتكون العدد 10 من خانتين، وهما 1 و 0. لكن القيمة الفعلية لهذا العدد لا تكون 10 فقط بل تكون بقوة 20، مما يعني أنه يتكون من 21 رقمًا (20 أصفار ورقم 1 في بداية العدد).

المزيد من المعلومات

لحل مسألة حساب عدد الأرقام في القيمة $2^{12} \times 5^8$، نحتاج إلى فهم القوانين الأساسية للأسس والضرب.

  1. قاعدة الضرب للأسس: تقول إنه عندما تكون القواعد متساوية، يمكن ضرب الأسس معًا، أي $a^m \times a^n = a^{m+n}$.
  2. تحويل الأسس للضرب والقوى: يمكن تحويل الأسس للضرب والقوى إذا كانت القواعد متساوية، مما يسهل عملية الحساب.

بدأنا بتحليل القيم المفردة:

  • $2^2 = 4$
  • $2^3 = 8$
  • $2^4 = 16$
  • $2^5 = 32$
  • $2^6 = 64$
  • $2^7 = 128$

لحساب $2^{12}$، نلاحظ أنه يمكن تقسيم الأس بطريقة تبسيطية كالتالي:

212=27×25=128×322^{12} = 2^7 \times 2^5 = 128 \times 32

أما بالنسبة للأعداد الأخرى:

  • $5^2 = 25$
  • $5^3 = 125$
  • $5^4 = 625$

لحساب $5^8$، نقوم بتقسيم الأس بشكل مشابه:

58=(54)2=62525^8 = (5^4)^2 = 625^2

الآن، يمكننا إعادة كتابة العبارة الأصلية بطريقة مبسطة باستخدام الأسس:

212×58=(128×32)×(625×625)2^{12} \times 5^8 = (128 \times 32) \times (625 \times 625)
=(128×32)×(6252)= (128 \times 32) \times (625^2)
=(27×25)×(54)2= (2^7 \times 2^5) \times (5^4)^2
=27+5×54×2= 2^{7+5} \times 5^{4 \times 2}
=212×58= 2^{12} \times 5^8

باستخدام قاعدة الأسس، نحصل على:

212×58=108+122^{12} \times 5^8 = 10^{8+12}
=1020= 10^{20}

يتكون العدد 10 من رقمين، وهما 1 و 0. لكن القيمة الفعلية لهذا العدد تكون بقوة 20، مما يعني أنه يتكون من 21 رقمًا (20 أصفار ورقم 1 في بداية العدد).