حساب عدد ارتدادات الكرة الرياضية (مسألة رياضيات)

يتعين على الكرة الارتداد بمقدار يبلغ نصف الارتفاع الذي سقطت منه في كل مرة، والسؤال هو كم مرة يجب أن ترتد الكرة حتى تصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد إذا كانت تم تسقيطها من ارتفاع يبلغ 1000 قدم؟

لحساب عدد مرات الارتداد، يمكننا استخدام التسلسل الهندسي حيث يكون المسافة المقطوعة في كل مرة نصف المسافة السابقة. يمكن تعبير ذلك رياضيًا بالتالي:

$S_n = 1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$

حيث:

• $S_n$ هو المسافة المقطوعة في المرة الثانية.
• $n$ هو عدد مرات الارتداد.

للعثور على عدد مرات الارتداد التي تجعل الكرة تصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد، يتعين علينا حل المعادلة:

$1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n < 1$

نقوم بحل هذه المعادلة عن طريق تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على الجانبين:

$\log\left(1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) < \log(1)$

$\log(1000) + n \times \log\left(\frac{1}{2}\right) < 0$

$n \times \log\left(\frac{1}{2}\right) < -\log(1000)$

$n > -\frac{\log(1000)}{\log\left(\frac{1}{2}\right)}$

$n > \frac{\log(1000)}{\log(2)}$

باستخدام الآلة الحاسبة، نحسب القيمة:

$n > \frac{3}{0.3010}$

$n > 9.966$

نحتاج إلى جولة إلى أقرب عدد صحيح لأعلى، لذا $n = 10$.

لذا، يجب أن ترتد الكرة على الأقل 10 مرات حتى تصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد.

لحل هذه المسألة، قمنا باستخدام القوانين الرياضية والحسابية، وتحديداً قانون التسلسل الهندسي واللوغاريتم الطبيعي. الآن، دعونا نفصل على الخطوات التي اتخذناها في الحل:

1. تعريف المتغيرات:

• $S_n$: المسافة المقطوعة في المرة الثانية.
• $n$: عدد مرات الارتداد.

2. قانون التسلسل الهندسي:
$S_n = 1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$
هذا القانون يمثل العلاقة بين المسافة المقطوعة في كل مرة والمرة السابقة.

3. وضع المعادلة الرياضية:
نقوم بتعبير شرط وصول الكرة إلى ارتفاع أقل من قدم واحد بواسطة المعادلة:
$1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n < 1$

4. تطبيق اللوغاريتم:
نستخدم اللوغاريتم الطبيعي لحل المعادلة وتبسيطها:
$n > \frac{\log(1000)}{\log(2)}$

5. حساب القيم:
باستخدام الآلة الحاسبة، نحسب القيم:
$n > \frac{3}{0.3010}$
ونحصل على $n > 9.966$.

6. تقريب الجواب:
نقوم بجولة إلى أقرب عدد صحيح لأعلى، لذا $n = 10$.

7. الإجابة:
لذا، يجب أن ترتد الكرة على الأقل 10 مرات حتى تصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد.

تم استخدام قوانين الجبر والتحويلات الرياضية لحساب الحل، وقوانين اللوغاريتم في تبسيط المعادلة.