حساب طول المنحنى المعرف بمعادلة معلمية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تطلب حساب طول المنحنى المعرف بمعادلة معلمية:
$(x, y) = (2 \sin t, 2 \cos t)$
حيث يتم تحديد القيمة للمعامل $t$ من $t = X$ إلى $t = \pi$.

لحساب طول المنحنى، نستخدم العلاقة التالية:
$L = \int_{X}^{\pi} \sqrt{\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right)^2 + \left(\frac{{dy}}{{dt}}\right)^2} dt$

بدايةً، نقوم بحساب مشتقات $x$ و $y$ بالنسبة لـ $t$:
$\frac{{dx}}{{dt}} = 2 \cos t$
$\frac{{dy}}{{dt}} = -2 \sin t$

ثم نقوم بحساب المتكاملة:
$L = \int_{X}^{\pi} \sqrt{(2 \cos t)^2 + (-2 \sin t)^2} dt$
$= \int_{X}^{\pi} \sqrt{4 \cos^2 t + 4 \sin^2 t} dt$
$= \int_{X}^{\pi} \sqrt{4(\cos^2 t + \sin^2 t)} dt$
$= \int_{X}^{\pi} \sqrt{4} dt$
$= \int_{X}^{\pi} 2 dt$
$= 2(t) \Bigg|_{X}^{\pi}$
$= 2(\pi – X)$

وبما أن قيمة الطول المعروفة هي $2\pi$، فإننا نحصل على المعادلة التالية:
$2\pi = 2(\pi – X)$
$\pi = \pi – X$
$X = 0$

إذًا، قيمة المتغير المجهول X تكون 0.

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهوم طول القوس للمنحنى المعرف بمعادلة معلمية. القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل تشمل:

1. مفهوم طول القوس للمنحنى: هو المسافة الفعلية التي يمر بها النقطة على المنحنى من نقطة إلى أخرى. يتم حساب طول القوس باستخدام التكامل للجذر التربيعي لمجموع مربعات مشتقات الدوال $x$ و $y$ بالنسبة للمتغير المعلم $t$.

2. التكامل العمودي: نستخدم التكامل لحساب الطول القوس، حيث يتم تقدير الطول من خلال جمع الأجزاء الصغيرة للمنحنى وتقدير القيمة الإجمالية للطول.

3. قوانين المشتقات: نحسب مشتقات الدوال $x$ و $y$ بالنسبة للمتغير $t$ باستخدام قواعد المشتقة، وهي قوانين تحديد معدل التغير للدوال.

4. قوانين الحساب التفاضلي: نستخدم قواعد الحساب التفاضلي في تحليل وتعريف الدوال وتغيراتها مع مرور الزمن أو المتغيرات الأخرى.

بناءً على القوانين والمفاهيم المذكورة، نقوم بحساب مشتقات الدوال $x$ و $y$ بالنسبة للمتغير $t$، ثم نقوم بتطبيق التكامل لحساب الطول القوس للمنحنى المعطى في النطاق المحدد من $t = X$ إلى $t = \pi$.

الحل يشمل استخدام القوانين الرياضية الأساسية مثل معادلات الدوال المثلثية وتعريف التكامل وقواعده، بالإضافة إلى استخدام المشتقات والتكاملات لتحليل الأشكال الهندسية وحساب الطول القوس للمنحنى المحدد.