حساب شطر الفرعي في الإليبس (مسألة رياضيات)

نعطي معادلة القطع الناقصة للإليبس:

$(x + 3)^2 + (y – 1)^2 = a^2$

حيث أن $a$ هو طول نصف المحور الرئيسي للإليبس. نعلم أن النقطة $(-3, 0)$ هي أحد بؤر الإليبس، لذا يمكننا استخدام هذه النقطة لحساب قيمة $a$. قم بوضع القيم $(-3, 0)$ في المعادلة:

$(\underline{(-3 + 3)})^2 + (\underline{(0 – 1)})^2 = a^2$

$0^2 + (-1)^2 = a^2$

$1 = a^2$

لذا، نعلم الآن أن $a = 1$. الآن، نعود إلى معادلة الإليبس لدينا:

$(x + 3)^2 + (y – 1)^2 = 1$

لكننا نريد حساب الشطر الفرعي ($b$) الذي هو طول نصف المحور الثانوي. نعرف أن $b$ و $a$ متصلين بالعلاقة:

$b^2 = a^2 – c^2$

حيث $c$ هو مسافة الفوكس من مركز الإليبس. في هذه الحالة، الفوكس هو النقطة $(-3, 0)$، لذا $c$ هو المسافة بين $(-3, 0)$ و $(-3, 1)$، وهي 1 وحدة. لذا:

$b^2 = 1^2 – 1^2 = 0$

وبالتالي $b = 0$.

إذا كان لديك إليبس مع نصف محور رئيسي $a = 1$ ونصف محور فرعي $b = 0$، فإنه يصبح مثلثًا نصف قطريًا.

نحن هنا نعمل على حساب الشطر الفرعي $b$ للإليبس باستخدام المعلومات المتاحة عن المحور الرئيسي $a$ والفوكس $c$. نستخدم العلاقة التي تربط بين هذه الكميات في حل المسألة.

للبداية، لدينا معادلة الإليبس العامة:

$(x + h)^2 + (y + k)^2 = a^2$

حيث $(h, k)$ هي موقع مركز الإليبس. في هذه المسألة، $(h, k) = (-3, 1)$. لذلك، المعادلة تصبح:

$(x + (-3))^2 + (y + 1)^2 = a^2$

المعلومات المتاحة تشير إلى أن أحد بؤر الإليبس هو $(-3, 0)$، لذا $c$ يمكن حسابها كالتالي:

$c = \sqrt{a^2 – b^2}$

حيث $c$ هو مسافة الفوكس من مركز الإليبس، و$b$ هو شطر الفرعي الذي نريد حسابه.

في هذه الحالة، نعلم أن $c = 1$ (لأن الفوكس هو $(-3, 0)$). ونعلم أيضاً أن $a = 1$ (لأنه نصف محور رئيسي). لذا:

$1 = \sqrt{1 – b^2}$

نربع الطرفين للتخلص من الجذر:

$1 = 1 – b^2$

نحل للعثور على قيمة $b$:

$b^2 = 0$

وبالتالي:

$b = 0$

الحل يشير إلى أن شطر الفرعي $b$ هو صفر. يتم تطبيق هذا الحل باستخدام قوانين الإليبس والعلاقات الهندسية المتعلقة بالمحاور والفوكس. يكون الإلمام بتلك القوانين أمرًا مهمًا لفهم وحل مثل هذه المسائل الحسابية.