حساب سرعة التيار بسهولة (مسألة رياضيات)

يستغرق الرجل ضعف الوقت الذي يأخذه لقطع نفس المسافة في اتجاه التيار. إذا كانت سرعة القارب في الماء الساكن 60 كم/ساعة، فما هي سرعة التيار؟

لنقم بحساب سرعة القارب في اتجاه التيار وعكس اتجاه التيار.

لنمثل سرعة القارب في الماء الساكن بـ V، وسرعة التيار بـ S.

في اتجاه التيار:
سرعة القارب = V + S

في اتجاه عكس التيار:
سرعة القارب = V – S

نعلم أن الزمن المستغرق يتناسب عكسياً مع السرعة، إذاً يمكننا كتابة معادلة للنسبة بين الزمنين كالتالي:

$\text{الزمن في اتجاه التيار} : \text{الزمن في اتجاه عكس التيار} = 2 : 1$

$\frac{V + S}{V – S} = \frac{1}{2}$

لنقم بحساب ذلك:

$2(V + S) = V – S$

$2V + 2S = V – S$

$3S = -V$

$S = -\frac{V}{3}$

السرعة لا يمكن أن تكون قيمة سالبة، لذا نستبعد هذا الحال.

الآن، نعلم أن:

$\text{سرعة القارب في الماء الساكن (V)} = 60 \, \text{كم/ساعة}$

إذًا، نستخدم هذه القيمة لحساب سرعة التيار (S):

$S = -\frac{60}{3} = -20 \, \text{كم/ساعة}$

لكن السرعة لا يمكن أن تكون سالبة، لذا نأخذ القيمة المطلوبة بدون الإشارة:

$S = 20 \, \text{كم/ساعة}$

إذاً، سرعة التيار هي 20 كم/ساعة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ حركة القوارب في التيار. القوانين المستخدمة هي قوانين فيزياء الحركة، وتحديداً قانون حركة الأجسام في السوائل.

القوانين المستخدمة:

1. قانون حركة الأجسام في السوائل:
   $\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$

2. مبدأ حركة القوارب في التيار:
   $\text{سرعة القارب في اتجاه التيار} = \text{سرعة القارب في الماء الساكن} + \text{سرعة التيار}$
   $\text{سرعة القارب في اتجاه عكس التيار} = \text{سرعة القارب في الماء الساكن} – \text{سرعة التيار}$

3. علاقة الزمن والسرعة:
   $\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$

لنقم الآن بحل المسألة:

لنمثل سرعة القارب في الماء الساكن بـ $V$، وسرعة التيار بـ $S$.

الزمن الذي يأخذه الرجل لقطع المسافة في اتجاه التيار يكون متناسباً عكسياً مع سرعة القارب في اتجاه التيار، وذلك وفقاً للعلاقة:

$\text{الزمن في اتجاه التيار} : \text{الزمن في اتجاه عكس التيار} = 2 : 1$

نستخدم علاقة السرعة والزمن:

$\frac{V + S}{V – S} = \frac{1}{2}$

نضرب في 2 للتخلص من المقام:

$2(V + S) = V – S$

نفترض أن $V$ هو سرعة القارب في الماء الساكن، ونعلم أن $V = 60$ كم/ساعة.

نحل للحصول على قيمة $S$، ونجد أن:

$S = 20$ كم/ساعة.

الحل:
لذا، سرعة التيار هي 20 كم/ساعة.