حساب زمن عبور القطار (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
قطار بطول 600 متر يعبر رجلاً يسير بسرعة 3 كيلومتر في الساعة في اتجاه حركة القطار، إذا كانت سرعة القطار 63 كيلومتر في الساعة، كم من الوقت سيستغرق القطار ليعبر الرجل؟

الحل:
نحتاج أولاً إلى توحيد وحدات القياس، لذا سنحول سرعة الرجل من كيلومتر في الساعة إلى متر في الثانية. هناك 1000 متر في كيلومتر و3600 ثانية في ساعة، لذا سرعة الرجل ستكون:

$3 \, \text{كم/س} \times \frac{1000 \, \text{م}}{1 \, \text{كم}} \times \frac{1 \, \text{ساعة}}{3600 \, \text{ثانية}} = \frac{5}{18} \, \text{م/ث}$

الآن نستخدم معادلة السرعة لحساب الزمن الذي يحتاجه القطار ليعبر الرجل:

$\text{سرعة القطار} = \text{سرعة الرجل} + \text{سرعة القطار بالنسبة للرجل}$

$63 \, \text{كم/س} = \frac{5}{18} \, \text{م/ث} + \text{سرعة القطار بالنسبة للرجل}$

نقوم بحساب سرعة القطار بالنسبة للرجل:

$\text{سرعة القطار بالنسبة للرجل} = 63 \, \text{كم/س} – \frac{5}{18} \, \text{م/ث} = \frac{351}{18} \, \text{م/ث} = 19.5 \, \text{م/ث}$

الآن نستخدم المسافة والسرعة لحساب الزمن، حيث:

$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$

$\text{الزمن} = \frac{600 \, \text{م}}{19.5 \, \text{م/ث}} \approx 30.77 \, \text{ثانية}$

إذاً، سيحتاج القطار إلى حوالي 30.77 ثانية ليعبر الرجل.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون السرعة ومعادلة الحركة الأفقية. دعونا نقوم بتفصيل الحل:

1. تحويل وحدات السرعة:
   قمنا بتحويل سرعة المشاة من كيلومتر في الساعة إلى متر في الثانية باستخدام العلاقة:
   $\text{سرعة المشاة} = 3 \, \text{كم/س} \times \frac{1000 \, \text{م}}{1 \, \text{كم}} \times \frac{1 \, \text{ساعة}}{3600 \, \text{ثانية}} = \frac{5}{18} \, \text{م/ث}$

2. تحديد سرعة القطار بالنسبة للمشاة:
   استخدمنا معادلة السرعة النهائية المتجهة للجسم لحساب سرعة القطار بالنسبة للمشاة:
   $\text{سرعة القطار بالنسبة للمشاة} = \text{سرعة القطار} – \text{سرعة المشاة}$
   $\text{سرعة القطار بالنسبة للمشاة} = 63 \, \text{كم/س} – \frac{5}{18} \, \text{م/ث} = \frac{351}{18} \, \text{م/ث} = 19.5 \, \text{م/ث}$

3. استخدام معادلة الحركة:
   نستخدم معادلة الحركة الأفقية $s = vt$ لحساب الزمن الذي يستغرقه القطار لعبور المشاة، حيث:
   $\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$
   $\text{الزمن} = \frac{600 \, \text{م}}{19.5 \, \text{م/ث}} \approx 30.77 \, \text{ثانية}$

قوانين الفيزياء المستخدمة:

1. قانون السرعة:
   $\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$

2. معادلة السرعة النهائية المتجهة للجسم:
   $\text{السرعة النهائية} = \text{السرعة الأولية} + (\text{التسارع} \times \text{الزمن})$

3. معادلة الحركة الأفقية:
   $s = vt$
   حيث:
   $s$ هي المسافة،
   $v$ هي السرعة،
   $t$ هو الزمن.

تم استخدام هذه القوانين لفهم وحل المسألة بشكل دقيق ومنطقي.