حساب زمن تجاوز القطار للرجل (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي كم من الزمن سيستغرق قطار طوله 450 مترًا ليعبر رجلًا يجري بسرعة 6 كيلومترات في الساعة في اتجاه حركة القطار إذا كانت سرعة القطار هي 60 كيلومترًا في الساعة.

حل المسألة:
لحساب الزمن الذي سيحتاجه القطار لتجاوز الرجل، يمكننا استخدام العلاقة التالية:
$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة النسبية}}$

حيث السرعة النسبية تُحسب بجمع سرعة القطار وسرعة الرجل (نظرًا لأنهما في اتجاهين متعاكسين):
$\text{السرعة النسبية} = \text{سرعة القطار} + \text{سرعة الرجل}$

لكن يجب تحويل السرعات إلى وحدة قياس متساوية، ونحتاج إلى تحويل سرعة الرجل من كيلومتر في الساعة إلى أمتار في الثانية، حيث $1 \, \text{كيلومتر} = 1000 \, \text{متر}$ و$1 \, \text{ساعة} = 3600 \, \text{ثانية}$.

لنقم بحساب السرعة النسبية:
$\text{سرعة النسبية} = \left( \text{سرعة القطار} + \frac{\text{سرعة الرجل}}{3600} \right) \, \text{متر/ثانية}$

بعد ذلك، نستخدم العلاقة الأولى لحساب الزمن:
$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة النسبية}}$

الآن، سنقوم بحساب هذه القيم والوحدات بالتفصيل.

نريد حساب الزمن الذي سيحتاجه القطار لتجاوز الرجل الجاري. أولاً، نحتاج إلى حساب السرعة النسبية بين القطار والرجل.

سرعة الرجل في وحدة متر/ثانية:
$\text{سرعة الرجل} = 6 \, \text{كم/ساعة} \times \frac{1000 \, \text{م}}{1 \, \text{كم}} \times \frac{1 \, \text{ساعة}}{3600 \, \text{ثانية}}$

$\text{سرعة الرجل} \approx \frac{5}{3} \, \text{م/ثانية}$

الآن، نحسب السرعة النسبية:
$\text{سرعة النسبية} = 60 \, \text{كم/ساعة} + \frac{5}{3} \, \text{م/ثانية}$

يجب تحويل سرعة القطار أيضًا إلى متر/ثانية:
$60 \, \text{كم/ساعة} = 60 \, \text{م/ثانية} \times \frac{1000 \, \text{م}}{1 \, \text{كم}} \times \frac{1 \, \text{ساعة}}{3600 \, \text{ثانية}}$

$60 \, \text{كم/ساعة} \approx \frac{50}{3} \, \text{م/ثانية}$

السرعة النسبية:
$\text{سرعة النسبية} \approx \frac{50}{3} \, \text{م/ثانية} + \frac{5}{3} \, \text{م/ثانية}$

$\text{سرعة النسبية} \approx \frac{55}{3} \, \text{م/ثانية}$

الآن، نستخدم العلاقة لحساب الزمن:
$\text{الزمن} = \frac{450 \, \text{متر}}{\frac{55}{3} \, \text{م/ثانية}}$

بتبسيط الكسر:
$\text{الزمن} \approx \frac{450 \, \text{متر} \times 3}{55} \, \text{ثانية}$

$\text{الزمن} \approx \frac{1350}{55} \, \text{ثانية}$

$\text{الزمن} \approx \frac{270}{11} \, \text{ثانية}$

$\text{الزمن} \approx 24.55 \, \text{ثانية}$

لذا، يحتاج القطار إلى حوالي 24.55 ثانية ليعبر الرجل الجاري.

لنقم بحل المسألة بمزيد من التفصيل، وسنركز على القوانين المستخدمة في الحل.

المسألة:

نريد حساب الزمن الذي يحتاجه القطار لتجاوز الرجل الجاري. البيانات المتاحة هي:

• طول القطار ($المسافة$): 450 متر.
• سرعة القطار ($سرعة القطار$): 60 كيلومتر/ساعة.
• سرعة الرجل ($سرعة الرجل$): 6 كيلومتر/ساعة.

القوانين المستخدمة:

1. السرعة = المسافة / الزمن:
   $السرعة = \frac{المسافة}{الزمن}$
   يمكننا استخدام هذه العلاقة لحساب الزمن أو السرعة إذا كانت المسافة والزمن معروفين.

2. السرعة النسبية:
   $سرعة النسبية = سرعة القطار + سرعة الرجل$
   عندما يتحرك الرجل في اتجاه القطار، نقوم بجمع سرعتي القطار والرجل للحصول على السرعة النسبية.

3. التحويل بين وحدات السرعة:
   نحتاج إلى تحويل سرعة الرجل من كيلومتر في الساعة إلى متر في الثانية لضمان توافق الوحدات.

الحل بالتفصيل:

أولاً، نحسب سرعة الرجل بالمتر/ثانية:
$سرعة الرجل = 6 \, \text{كم/ساعة} \times \frac{1000 \, \text{م}}{1 \, \text{كم}} \times \frac{1 \, \text{ساعة}}{3600 \, \text{ثانية}}$
$سرعة الرجل \approx \frac{5}{3} \, \text{م/ثانية}$

ثم، نحسب السرعة النسبية:
$سرعة النسبية = 60 \, \text{م/ثانية} + \frac{5}{3} \, \text{م/ثانية}$
$سرعة النسبية \approx \frac{55}{3} \, \text{م/ثانية}$

بعد ذلك، نستخدم العلاقة لحساب الزمن:
$الزمن = \frac{450 \, \text{متر}}{\frac{55}{3} \, \text{م/ثانية}}$

ونبسط الكسر:
$الزمن \approx \frac{450 \times 3}{55} \, \text{ثانية}$
$الزمن \approx \frac{1350}{55} \, \text{ثانية}$
$الزمن \approx \frac{270}{11} \, \text{ثانية}$
$الزمن \approx 24.55 \, \text{ثانية}$

لذا، يحتاج القطار إلى حوالي 24.55 ثانية ليعبر الرجل الجاري.