حساب زمن إنجاز العمل بالتعاون (مسألة رياضيات)

عدد الرجال = 10
عدد النساء = 15
زمن إنجاز العمل معًا = 8 أيام
زمن إنجاز العمل لرجل واحد = 100 يوم
السؤال: كم يستغرق وقت امرأة واحدة لإكمال نفس العمل؟

الحل:
نستخدم معادلة العمل المشترك:

$\text{العمل المشترك} = \frac{1}{\text{زمن إنجاز العمل المشترك}}$

لحساب معدل الأداء اليومي للمجموعة.

معادلة العمل المشترك:
$\text{العمل المشترك} = \frac{1}{\frac{1}{\text{عدد الرجال}} \times \text{زمن إنجاز العمل لرجل واحد}} + \frac{1}{\frac{1}{\text{عدد النساء}} \times \text{زمن إنجاز العمل لامرأة واحدة}}$

نعوض القيم:
$\frac{1}{8} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{100} + \frac{1}{15} \times \frac{1}{x}$

نقوم بحساب المعادلة للعثور على قيمة $x$.

$\frac{1}{8} = \frac{1}{1000} + \frac{1}{15x}$

نقوم بطرح $\frac{1}{1000}$ من الطرفين:

$\frac{1}{8} – \frac{1}{1000} = \frac{1}{15x}$

نجمع الكسرين:

$\frac{125}{1000} = \frac{1}{15x}$

نقوم بتفريغ الكسر:

$125 = \frac{1000}{15x}$

نضرب في $15x$ من الطرفين:

$125 \times 15x = 1000$

نقوم بحساب الضرب:

$1875x = 1000$

نقوم بتقسيم الطرفين على $1875$ للعثور على قيمة $x$:

$x = \frac{1000}{1875}$

نبسط الكسر:

$x = \frac{80}{15}$

نقوم بتبسيط الكسر:

$x = \frac{16}{3}$

إذاً، تحتاج امرأة واحدة لـ $\frac{16}{3}$ أيام لإكمال نفس العمل.

$x = 5 \frac{1}{3}$

لذا، تحتاج امرأة واحدة لـ $5 \frac{1}{3}$ أيام لإكمال نفس العمل.

تفاصيل الحل:

نبدأ بفهم المسألة وتحديد الكميات المعروفة:

• عدد الرجال = 10
• عدد النساء = 15
• زمن إنجاز العمل معًا = 8 أيام
• زمن إنجاز العمل لرجل واحد = 100 يوم

الهدف هو حساب زمن إنجاز العمل لامرأة واحدة.

نستخدم مبدأ العمل المشترك، الذي يقول إن “إذا قامت مجموعة من العمال بالعمل معًا، فإنهم ينجزون كمية من العمل تتناسب طرديًا مع الوقت الذي قضوه في العمل”. يُعبَّر عن ذلك بالمعادلة:

$\text{العمل المشترك} = \frac{1}{\text{زمن إنجاز العمل المشترك}}$

ثم نستخدم مبدأ الجمع الطردي للأعداد الكسرية:
$\text{العمل المشترك} = \frac{1}{\frac{1}{\text{عدد الرجال}} \times \text{زمن إنجاز العمل لرجل واحد}} + \frac{1}{\frac{1}{\text{عدد النساء}} \times \text{زمن إنجاز العمل لامرأة واحدة}}$

نعوض القيم المعروفة ونقوم بحساب الكسور والجمع الطردي للعثور على زمن العمل لامرأة واحدة ($x$).

$\frac{1}{8} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{100} + \frac{1}{15} \times \frac{1}{x}$

نقوم بتبسيط العبارة وحساب الكسور، ثم نحل المعادلة للعثور على قيمة $x$.

$x = \frac{1000}{1875}$

ثم نقوم بتبسيط الكسر للحصول على قيمة $x$ بصورة نهائية.

$x = 5 \frac{1}{3}$

القوانين المستخدمة:

1. مبدأ العمل المشترك: يُستخدم لحساب كمية العمل التي يمكن أن يقوم بها مجموعة من الأفراد أو العمال معًا.
2. مبدأ الجمع الطردي: يُستخدم لجمع الكسور الطردية المتعلقة بأوقات العمل الفردية للرجال والنساء للوصول إلى زمن إنجاز العمل لامرأة واحدة.

المرحلة الأخيرة هي التأكد من أن الإجابة منطقية، وفي هذه الحالة، تحتاج امرأة واحدة إلى $5 \frac{1}{3}$ أيام لإكمال نفس العمل.