حساب زاوية بين خطين في الفضاء الثنائي (مسألة رياضيات)

المسألة تتعلق بحساب قيمة الكوسين للزاوية بين خطين معطيين في الفضاء الإقليدي الثنائي.

لنقوم أولاً بتعريف معادلتي الخطوط المعطاة. الخط الأول معطى بالمعادلة:

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}.$

والخط الثاني معطى بالمعادلة:

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 12 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}.$

نحتاج أولاً إلى حساب نقطة التقاطع بين الخطين للعثور على الاتجاهات. نضع المعادلتين متساويتين للعثور على نقطة التقاطع:

$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 12 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}.$

تحليل المعادلة يعطي لنا قيمة $t$ و $u$. لنقم بذلك.

نقارن المكونات:

لل$x$ : $3t = -8 + u$

لل$y$ : $4t – 2 = 12 + 3u$

يمكننا حل هذا النظام للحصول على قيم $t$ و $u$.

الحل يعطي لنا:

$t = -2, \quad u = 2.$

الآن بمعرفتنا للقيم $t$ و $u$، يمكننا حساب الاتجاهات. للخط الأول، الاتجاه هو $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ وللخط الثاني، الاتجاه هو $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$.

لحساب الزاوية $\theta$ بين الخطين، نستخدم الصيغة التالية لزاوية بين متجهات في الفضاء:

$\cos \theta = \frac{\text{المنتج الداخلي للمتجهين}}{\text{ضرب الأطوال البينية للمتجهين}}.$

سنقوم بذلك الآن:

$\cos \theta = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}}{\sqrt{3^2 + 4^2} \times \sqrt{1^2 + 3^2}}.$

$= \frac{3 \times 1 + 4 \times 3}{\sqrt{25} \times \sqrt{10}}.$

$= \frac{3 + 12}{5 \times \sqrt{10}}.$

$= \frac{15}{5 \times \sqrt{10}}.$

$= \frac{3}{\sqrt{10}}.$

$= \frac{3 \sqrt{10}}{10}.$

إذاً، قيمة $\cos \theta$ هي $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$.

لحل هذه المسألة، سنقوم باتباع الخطوات التالية:

1. العثور على نقطة التقاطع بين الخطين:
   نقوم بحل المعادلات الخطية المتكونة من معادلتي الخطين للعثور على نقطة التقاطع. هذه النقطة ستساعدنا في حساب الاتجاهات للخطين.

2. حساب الاتجاهات للخطين:
   نستخدم المعادلات المعطاة لكل خط لحساب الاتجاهات. الاتجاهات هي المتجهات المعطاة ضمن المعادلات الخطية.

3. حساب الزاوية بين الخطين:
   باستخدام الاتجاهات التي حسبناها، نستخدم الصيغة الخاصة بحساب الزوايا بين المتجهات في الفضاء الثنائي.

4. استخدام الكوسين لحساب الزاوية:
   بعد حساب المنتج الداخلي وضرب الأطوال البينية للمتجهين، نستخدم الكوسين للحصول على القيمة الزاوية.

القوانين والمفاهيم المستخدمة تشمل:

• معادلات الخطوط في الفضاء الثنائي: تستخدم لتمثيل الخطوط في الفضاء الثنائي باستخدام نقطة انطلاق واتجاه.
• نقطة التقاطع بين الخطوط: يتم حسابها عن طريق حل المعادلات الخطية المتشابهة.
• الاتجاهات للخطوط: تمثل المتجهات التي تحدد اتجاه الخطوط في الفضاء.
• زوايا بين المتجهات: تستخدم لقياس الزوايا بين الاتجاهات والمتجهات في الفضاء.
• الكوسين: يستخدم لحساب قيمة الزاوية بين المتجهات بناءً على المنتج الداخلي وضرب الأطوال البينية للمتجهين.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، يمكننا حل المسألة والعثور على قيمة كوسين الزاوية بين الخطين المعطيين.