حساب حجم ومساحة سطح المنشور

كيفية حساب حجم المنشور الثلاثي القائم ومساحة سطحه

المنشور الثلاثي القائم هو أحد الأشكال الهندسية التي تندرج تحت فئة المنشورات، وهو يتكون من قاعدة مثلثة ووجوه جانبية تكون مستطيلة. يمكن استخدام هذا الشكل في العديد من التطبيقات الهندسية والمعمارية والفيزيائية، حيث يمثل طريقة شائعة لتصميم الأشكال ثلاثية الأبعاد. في هذا المقال، سنتناول كيفية حساب حجم المنشور الثلاثي القائم وكذلك مساحة سطحه، مع شرح كامل للخطوات اللازمة لذلك.

تعريف المنشور الثلاثي القائم

المنشور الثلاثي القائم هو شكل هندسي يتكون من قاعدة مثلثة وأربع وجوه مستطيلة. القاعدة هي عبارة عن مثلث يقع على سطح مستوٍ، وتستند الوجوه المستطيلة إلى هذه القاعدة. أما عن الوجوه الجانبية، فهي مستطيلة الشكل وتربط بين القاعدة والسطح العلوي للمنشور. وبذلك يتكون المنشور من القاعدة المثلثة ووجهيين مستطيلين فوق القاعدة، بينما تكون الجوانب الأخرى من المنشور عبارة عن مستطيلات أخرى.

حساب حجم المنشور الثلاثي القائم

لحساب حجم المنشور الثلاثي القائم، يجب علينا معرفة المساحة الأساسية للقاعدة المثلثية وارتفاع المنشور. يتم حساب الحجم باستخدام الصيغة التالية:

$$حجم المنشور = \text{مساحة القاعدة} \times \text{الارتفاع}$$

1. حساب مساحة القاعدة المثلثية

قبل حساب الحجم، يجب أولاً حساب مساحة القاعدة المثلثية. إذا كان لدينا مثلث قاعدة له قاعدة $a$ وارتفاع $h_{\text{قاعدة}}$، فإن مساحة المثلث تُحسب باستخدام الصيغة التالية:

$$مساحة القاعدة = \frac{1}{2} \times a \times h_{\text{قاعدة}}$$

حيث:

• $a$ هو طول قاعدة المثلث.

• $h_{\text{قاعدة}}$ هو الارتفاع العمودي من القمة إلى قاعدة المثلث.

2. حساب الحجم

بمجرد حساب المساحة الأساسية للقاعدة المثلثية، يمكننا الآن حساب حجم المنشور الثلاثي القائم. إذا كان الارتفاع $h_{\text{منشور}}$ هو المسافة العمودية بين القاعدة والسطح العلوي للمنشور، فيكون الحجم كالتالي:

$$حجم المنشور = \frac{1}{2} \times a \times h_{\text{قاعدة}} \times h_{\text{منشور}}$$

مثال على حساب الحجم

افترض أن لدينا منشورًا ثلاثيًا قائماً حيث:

• طول قاعدة المثلث هو $6$ سم.

• ارتفاع المثلث (القاعدة) هو $4$ سم.

• ارتفاع المنشور هو $10$ سم.

لحساب حجم المنشور، نبدأ بحساب مساحة القاعدة المثلثية:

$$مساحة القاعدة = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \, \text{سم}^2$$

الآن، نستخدم المساحة لحساب الحجم:

$$حجم المنشور = 12 \times 10 = 120 \, \text{سم}^3$$

إذن، حجم المنشور هو $120$ سم³.

حساب مساحة سطح المنشور الثلاثي القائم

لحساب مساحة سطح المنشور الثلاثي القائم، يجب حساب مساحة جميع الوجوه: القاعدة، والوجه العلوي، والأوجه الجانبية.

1. حساب مساحة القاعدة

كما ذكرنا سابقًا، مساحة القاعدة هي مساحة المثلث، وبالتالي فإن مساحة القاعدة هي:

$$مساحة القاعدة = \frac{1}{2} \times a \times h_{\text{قاعدة}}$$

2. حساب مساحة الأوجه الجانبية

تتكون الأوجه الجانبية من مستطيلات، حيث أن كل مستطيل يربط بين قمة المثلث وأعلى المنشور. تحتوي الوجوه الجانبية على ثلاثة مستطيلات، كل منها يمتلك طولًا يساوي أحد أضلاع المثلث القاعدي. إذا كانت أضلاع المثلث هي $a_1$، $a_2$، و $a_3$، فيكون لكل مستطيل ارتفاعه مساوٍ للارتفاع $h_{\text{منشور}}$. وبالتالي، مساحات الأوجه الجانبية تكون كما يلي:

$$مساحة الوجه الجانبي 1 = a_1 \times h_{\text{منشور}}$$
$$مساحة الوجه الجانبي 2 = a_2 \times h_{\text{منشور}}$$
$$مساحة الوجه الجانبي 3 = a_3 \times h_{\text{منشور}}$$

3. حساب مساحة السطح الكلي

بمجرد حساب مساحات القاعدة والأوجه الجانبية، يمكننا حساب مساحة السطح الكلي للمنشور. الصيغة هي:

$$مساحة السطح الكلي = \text{مساحة القاعدة} + \text{مساحة الوجه الجانبي 1} + \text{مساحة الوجه الجانبي 2} + \text{مساحة الوجه الجانبي 3}$$

مثال على حساب مساحة السطح

افترض أن لدينا نفس المنشور الثلاثي القائم المذكور سابقًا، ولكن مع الأبعاد التالية لأضلاع المثلث:

• طول الضلع الأول $a_1 = 6$ سم.

• طول الضلع الثاني $a_2 = 5$ سم.

• طول الضلع الثالث $a_3 = 7$ سم.

• ارتفاع المنشور $h_{\text{منشور}} = 10$ سم.

• ارتفاع المثلث $h_{\text{قاعدة}} = 4$ سم.

أولاً، نحسب مساحة القاعدة:

$$مساحة القاعدة = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \, \text{سم}^2$$

ثم نحسب مساحة الأوجه الجانبية:

$$مساحة الوجه الجانبي 1 = 6 \times 10 = 60 \, \text{سم}^2$$
$$مساحة الوجه الجانبي 2 = 5 \times 10 = 50 \, \text{سم}^2$$
$$مساحة الوجه الجانبي 3 = 7 \times 10 = 70 \, \text{سم}^2$$

وأخيرًا، نحسب مساحة السطح الكلي:

$$مساحة السطح الكلي = 12 + 60 + 50 + 70 = 192 \, \text{سم}^2$$

إذن، مساحة السطح الكلي للمنشور هي $192$ سم².

خلاصة

حساب حجم المنشور الثلاثي القائم يتطلب معرفة مساحة القاعدة المثلثية وارتفاع المنشور. بعد حساب المساحة الأساسية للقاعدة، يتم ضربها في ارتفاع المنشور للحصول على الحجم. أما حساب مساحة سطح المنشور الثلاثي القائم، فيتطلب حساب مساحة القاعدة والمساحات الجانبية للمستطيلات المكونة للأوجه الجانبية. باستخدام هذه المعادلات، يمكننا حساب حجم المنشور ومساحة سطحه بدقة باستخدام المعطيات الهندسية المتوفرة.