حساب حجم ومساحة أسطوانة: دليل الحلول (مسألة رياضيات)

المسألة:

العثور على حجم ومساحة السطح المنحنية لأسطوانة قاعدتها قطرها 14 سم وارتفاعها 60 سم.

الحل:

لنحسب أولاً قطر الأسطوانة، وذلك بتقسيم قطر القاعدة على 2:

$القطر = \frac{14}{2} = 7 \, \text{سم}$

الحجم (V) للأسطوانة يمكن حسابه باستخدام الصيغة التالية:

$V = \pi r^2 h$

حيث أن $r$ هو نصف قطر القاعدة و $h$ هو الارتفاع.

$V = \pi \times 7^2 \times 60$

$V = 22/7 \times 49 \times 60$

$V = 22 \times 7 \times 60$

$V = 9240 \, \text{سم}^3$

المساحة المنحنية (A) يمكن حسابها باستخدام الصيغة:

$A = 2 \pi r h$

$A = 2 \times 22/7 \times 7 \times 60$

$A = 2 \times 22 \times 60$

$A = 2640 \, \text{سم}^2$

لذا، حجم الأسطوانة هو 9240 سم³ ومساحة السطح المنحنية هي 2640 سم².

في حل مسألة حجم ومساحة السطح المنحني للأسطوانة، نستخدم مجموعة من الخطوات والقوانين الرياضية للوصول إلى الإجابة. الأسلوب المستخدم هو البناء التدريجي للحل مع شرح الخطوات والقوانين المستخدمة.

أولاً وقبل كل شيء، يتم تحديد قطر القاعدة. في هذه المسألة، القطر هو 14 سم، وبالتالي نجد نصف القطر كالتالي:

$\text{نصف القطر (r)} = \frac{\text{القطر}}{2} = \frac{14}{2} = 7 \, \text{سم}$

بعد ذلك، نستخدم الصيغة لحساب حجم الأسطوانة (V)، حيث $r$ هو نصف قطر القاعدة و $h$ هو الارتفاع:

$V = \pi r^2 h$

$V = \pi \times 7^2 \times 60$

ثم يتم حساب القيمة النهائية:

$V = 9240 \, \text{سم}^3$

بالنسبة لمساحة السطح المنحني (A)، نستخدم الصيغة:

$A = 2 \pi r h$

$A = 2 \times \pi \times 7 \times 60$

وبالتالي:

$A = 2640 \, \text{سم}^2$

القوانين المستخدمة هي قوانين هندسية ورياضية أساسية:

1. مساحة دائرة:
   $A_{\text{دائرة}} = \pi r^2$
   حيث $r$ هو نصف القطر.

2. حجم أسطوانة:
   $V_{\text{أسطوانة}} = \pi r^2 h$
   حيث $r$ هو نصف قطر القاعدة و $h$ هو الارتفاع.

3. مساحة السطح المنحني للأسطوانة:
   $A_{\text{السطح المنحني}} = 2 \pi r h$
   حيث $r$ هو نصف قطر القاعدة و $h$ هو الارتفاع.

هذه القوانين تستند إلى المفاهيم الهندسية الأساسية للدوائر والأسطوانات.