حساب حجم المنطقة المحصورة بين كرتين كرويتين (مسألة رياضيات)

نتعامل في هذه المسألة مع كرتين متجاورتين، الأولى لها نصف قطر يبلغ 3 وحدات، والثانية لها نصف قطر يبلغ 6 وحدات. نريد حساب حجم المنطقة المتبقية داخل الكرة الأكبر ولكن خارج الكرة الصغيرة.

حجم الكرة يُحسب باستخدام الصيغة التالية: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$، حيث $r$ هو نصف قطر الكرة.

للكرة الأصغر (الصغيرة)، يكون حجمها:
$V_{small} = \frac{4}{3} \pi (3)^3$

وبنفس الطريقة، للكرة الأكبر (الكبيرة)، يكون حجمها:
$V_{large} = \frac{4}{3} \pi (6)^3$

المنطقة المتبقية تكون الفارق بين حجم الكرة الكبيرة وحجم الكرة الصغيرة:
$V_{region} = V_{large} – V_{small}$

نقوم بحساب هذه القيم:
$V_{region} = \frac{4}{3} \pi (6)^3 – \frac{4}{3} \pi (3)^3$

بتبسيط العبارة، نجد:
$V_{region} = \frac{4}{3} \pi (216 – 27)$

وأخيراً:
$V_{region} = \frac{4}{3} \pi (189)$

إذاً، حجم المنطقة المتبقية هو:
$V_{region} = 252 \pi$ وحدة مكعبة.

في هذه المسألة، نقوم بحساب حجم المنطقة المحصورة بين الكرتين باستخدام حجوم الكرات الكروية. القوانين المستخدمة هي قوانين حساب حجوم الكرات وفارق حجومها.

للبداية، نحتاج إلى معرفة حجم الكرة، ويتم حساب حجم الكرة باستخدام الصيغة التالية:

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

حيث $V$ هو حجم الكرة و $r$ هو نصف قطرها.

1. حجم الكرة الصغيرة (الأولى):
   نستخدم القانون للكرة الصغيرة التي لها نصف قطر يبلغ 3 وحدات:
   $V_{small} = \frac{4}{3} \pi (3)^3$

2. حجم الكرة الكبيرة (الثانية):
   نستخدم القانون للكرة الكبيرة التي لها نصف قطر يبلغ 6 وحدات:
   $V_{large} = \frac{4}{3} \pi (6)^3$

3. حجم المنطقة المتبقية:
   نقوم بحساب فارق حجم الكرة الكبيرة والصغيرة:
   $V_{region} = V_{large} – V_{small}$

   بتبسيط العبارة، نجد:
   $V_{region} = \frac{4}{3} \pi (216 – 27)$

   وأخيراً:
   $V_{region} = \frac{4}{3} \pi (189)$

باستخدام هذه القوانين، نحسب حجم المنطقة المحصورة بين الكرتين ونجد أنه يساوي $252 \pi$ وحدة مكعبة.