حساب حجم المنطقة الكروية بين كرتين مختلفتين (مسألة رياضيات)

نعتبر كرة أكبر لها نصف قطر يساوي 6 وحدات وكرة أصغر لها نصف قطر يساوي 3 وحدات. نريد حساب حجم المنطقة بين الكرتين.

لحساب حجم المنطقة بين الكرتين، نستخدم الفرق بين حجم الكرة الكبيرة وحجم الكرة الصغيرة. حجم كرة يحسب بالصيغة التالية:

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

حيث $V$ هو حجم الكرة و $r$ هو نصف قطرها.

للكرة الكبيرة:
$V_{\text{كبيرة}} = \frac{4}{3} \pi (6)^3$

و للكرة الصغيرة:
$V_{\text{صغيرة}} = \frac{4}{3} \pi (3)^3$

المنطقة بين الكرتين هي الفارق بين حجم الكرة الكبيرة وحجم الكرة الصغيرة:
$V_{\text{منطقة}} = V_{\text{كبيرة}} – V_{\text{صغيرة}}$

بمجرد وضع القيم في الصيغ:
$V_{\text{منطقة}} = \frac{4}{3} \pi (6)^3 – \frac{4}{3} \pi (3)^3$

نقوم بالتبسيط:
$V_{\text{منطقة}} = \frac{4}{3} \pi (216 – 27)$

$V_{\text{منطقة}} = \frac{4}{3} \pi (189)$

$V_{\text{منطقة}} = 252 \pi$

إذاً، حجم المنطقة بين الكرتين هو $252 \pi$ وحدة مكعبة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بحساب حجم الكرة الكبيرة وحجم الكرة الصغيرة ثم نطرح الحجم الصغير من الحجم الكبير للحصول على حجم المنطقة بينهما. في هذا السياق، سنستخدم قاعدة حساب حجم الكرة التي تعطينا الحجم بناءً على نصف قطر الكرة.

لحساب حجم الكرة، نستخدم الصيغة:

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

حيث $V$ هو حجم الكرة، $\pi$ هو عدد باي، و $r$ هو نصف قطر الكرة.

للكرة الكبيرة، نستخدم نصف قطرها البالغ 6 وحدات:
$V_{\text{كبيرة}} = \frac{4}{3} \pi (6)^3$

و للكرة الصغيرة، نستخدم نصف قطرها البالغ 3 وحدات:
$V_{\text{صغيرة}} = \frac{4}{3} \pi (3)^3$

ثم نقوم بطرح حجم الكرة الصغيرة من حجم الكرة الكبيرة للحصول على حجم المنطقة بينهما:
$V_{\text{منطقة}} = V_{\text{كبيرة}} – V_{\text{صغيرة}}$

وبعد تبسيط الصيغ والقيم:
$V_{\text{منطقة}} = \frac{4}{3} \pi (6)^3 – \frac{4}{3} \pi (3)^3$

$V_{\text{منطقة}} = \frac{4}{3} \pi (216 – 27)$

$V_{\text{منطقة}} = \frac{4}{3} \pi (189)$

$V_{\text{منطقة}} = 252 \pi$

لذلك، حجم المنطقة بين الكرتين هو $252 \pi$ وحدة مكعبة.

القوانين المستخدمة في هذا الحل:

1. قاعدة حساب حجم الكرة: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
2. استخدام الفرق بين حجمين لحساب المنطقة بينهما: $V_{\text{منطقة}} = V_{\text{كبيرة}} – V_{\text{صغيرة}}$