حساب حجم الكرة والأسطوانة في مسألة هندسية (مسألة رياضيات)

نقوم بحساب حجم الكرة الأولى بإستخدام القاعدة العليا ونطرح منها حجم الأسطوانة المستقواة منها. حجم الكرة يُحسب بواسطة الصيغة:

$V_{\text{كرة}} = \frac{4}{3} \pi r_{\text{كرة}}^3$

حيث $r_{\text{كرة}}$ هو نصف قطر الكرة. بعد ذلك، نحسب حجم الأسطوانة المستقواة من الكرة، ويُحسب بواسطة الصيغة:

$V_{\text{أسطوانة}} = \pi r_{\text{أسطوانة}}^2 h_{\text{أسطوانة}}$

حيث $r_{\text{أسطوانة}}$ هو نصف قطر الأسطوانة و $h_{\text{أسطوانة}}$ هو ارتفاع الأسطوانة. يُعطى النصف القطري للأسطوانة بواسطة نصف قطر الكرة. الآن، نطرح حجم الأسطوانة من حجم الكرة للحصول على حجم الصلب الناتج:

$V_{\text{ناتج}} = V_{\text{كرة}} – V_{\text{أسطوانة}}$

لنقم الآن بحساب القيم. نصف قطر الكرة ($r_{\text{كرة}}$) هو نصف طول ضلع المكعب، وبما أن طول ضلع المكعب هو 4 أقدام، يكون $r_{\text{كرة}} = \frac{4}{2} = 2$ أقدام.

الآن، نقوم بحساب حجم الكرة:

$V_{\text{كرة}} = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{32}{3} \pi \, \text{ft}^3$

نصف قطر الأسطوانة ($r_{\text{أسطوانة}}$) هو نفسه نصف قطر الكرة، لذا $r_{\text{أسطوانة}} = 2$ أقدام. أما ارتفاع الأسطوانة ($h_{\text{أسطوانة}}$) هو اختلاف الطول بين الضلع الكامل للمكعب والقطر المستخدم لحساب نصف قطر الكرة، أي $h_{\text{أسطوانة}} = 4 – 2 = 2$ أقدام.

الآن، نحسب حجم الأسطوانة:

$V_{\text{أسطوانة}} = \pi (2)^2 (2) = 8 \pi \, \text{ft}^3$

وأخيرًا، نطرح حجم الأسطوانة من حجم الكرة:

$V_{\text{ناتج}} = \frac{32}{3} \pi – 8 \pi = \frac{8}{3} \pi \, \text{ft}^3$

إذاً، حجم الصلب الناتج هو $\frac{8}{3} \pi$ قدم مكعبة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين والصيغ المتعلقة بحساب حجوم الأشكال الهندسية المختلفة، وتحديداً الكرة والأسطوانة. سنقوم بشرح الخطوات بتفصيل واستخدام القوانين التالية:

1. حجم الكرة:

   • الصيغة لحساب حجم الكرة: $V_{\text{كرة}} = \frac{4}{3} \pi r_{\text{كرة}}^3$
   • حيث $r_{\text{كرة}}$ هو نصف قطر الكرة.

   نصف قطر الكرة يكون نصف طول ضلع المكعب، والذي هو 4 أقدام. لذا:
   $r_{\text{كرة}} = \frac{4}{2} = 2 \, \text{أقدام}$

   الآن نقوم بحساب حجم الكرة:
   $V_{\text{كرة}} = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{32}{3} \pi \, \text{قدم}^3$

2. حجم الأسطوانة:

   • الصيغة لحساب حجم الأسطوانة: $V_{\text{أسطوانة}} = \pi r_{\text{أسطوانة}}^2 h_{\text{أسطوانة}}$
   • حيث $r_{\text{أسطوانة}}$ هو نصف قطر الأسطوانة، و $h_{\text{أسطوانة}}$ هو ارتفاع الأسطوانة.

   نصف قطر الأسطوانة هو نفسه نصف قطر الكرة:
   $r_{\text{أسطوانة}} = 2 \, \text{أقدام}$

   ارتفاع الأسطوانة يكون اختلاف الطول بين الضلع الكامل للمكعب والقطر المستخدم لحساب نصف قطر الكرة:
   $h_{\text{أسطوانة}} = 4 – 2 = 2 \, \text{أقدام}$

   الآن نقوم بحساب حجم الأسطوانة:
   $V_{\text{أسطوانة}} = \pi (2)^2 (2) = 8 \pi \, \text{قدم}^3$

3. حجم الصلب الناتج:

   • الصيغة لحساب حجم الصلب الناتج: $V_{\text{ناتج}} = V_{\text{كرة}} – V_{\text{أسطوانة}}$

   نطرح حجم الأسطوانة من حجم الكرة:
   $V_{\text{ناتج}} = \frac{32}{3} \pi – 8 \pi = \frac{8}{3} \pi \, \text{قدم}^3$

لذا، حجم الصلب الناتج هو $\frac{8}{3} \pi$ قدم مكعبة. يتم استخدام القوانين المذكورة أعلاه لحساب حجوم الأشكال الهندسية المعينة وتطبيقها بشكل دقيق للحصول على الإجابة النهائية.