حساب حجم آيس كريم مخروطي (مسألة رياضيات)

المخروط: يتمثل في مسافة داخلية قدرها 8 بوصات مع نصف قطر يبلغ 2 بوصة في الفتحة.
الكرة: تستغل مساحة الفتحة بالكامل.

حجم المخروط يمكن حسابه باستخدام الصيغة:

$V_{\text{المخروط}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{القاعدة}}^2 h$

حيث:
$r_{\text{القاعدة}}$ هو نصف قطر الفتحة (2 بوصة)،
$h$ هو ارتفاع المخروط (8 بوصات).

حجم الكرة يمكن حسابه باستخدام الصيغة:

$V_{\text{الكرة}} = \frac{4}{3} \pi r_{\text{الكرة}}^3$

حيث:
$r_{\text{الكرة}}$ هو نصف قطر الفتحة.

يتم استخدام نصف قطر الكرة كنصف قطر للفتحة. وبما أن النصف الأسمى هو الضعف من النصف القطر، يكون $r_{\text{الكرة}} = \frac{1}{2} r_{\text{القاعدة}}$.

بعد حساب الحجمين، يتم جمعهما للحصول على حجم الآيس كريم:

$V_{\text{الآيس كريم}} = V_{\text{المخروط}} + V_{\text{الكرة}}$

الآن سنقوم بحساب القيم:

حجم المخروط:
$V_{\text{المخروط}} = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (8) = \frac{1}{3} \times 4 \pi \times 8 = \frac{32}{3} \pi$

حجم الكرة:
$V_{\text{الكرة}} = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1}{2} \times 2\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 1 = \frac{4}{3} \pi$

حيث يكون النصف قطر $r_{\text{الكرة}}$ هو نصف قطر الفتحة.

الآن سنجمع الحجمين:
$V_{\text{الآيس كريم}} = \frac{32}{3} \pi + \frac{4}{3} \pi = \frac{36}{3} \pi = 12 \pi$

إذا كان حجم الآيس كريم المحشو داخل المخروط هو $12 \pi$ بوصة مكعبة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الأشكال الهندسية المختلفة والصيغ الرياضية المتعلقة بها. سنستخدم القوانين التالية:

1. حجم المخروط:
   يتمثل في الجزء السفلي من الآيس كريم، ويمكن حساب حجمه باستخدام الصيغة:
   $V_{\text{المخروط}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{القاعدة}}^2 h$
   حيث $r_{\text{القاعدة}}$ هو نصف قطر الفتحة (2 بوصة)، و $h$ هو ارتفاع المخروط (8 بوصات).

2. حجم الكرة:
   تمثل الجزء العلوي من الآيس كريم، ويمكن حساب حجمها باستخدام الصيغة:
   $V_{\text{الكرة}} = \frac{4}{3} \pi r_{\text{الكرة}}^3$
   حيث $r_{\text{الكرة}}$ هو نصف قطر الكرة، والذي يكون نصف قطر الفتحة مقسومًا على 2.

3. حجم الآيس كريم:
   يتم الحصول عليه بجمع حجم المخروط وحجم الكرة:
   $V_{\text{الآيس كريم}} = V_{\text{المخروط}} + V_{\text{الكرة}}$

الآن، سنقوم بحساب القيم:

حجم المخروط:
$V_{\text{المخروط}} = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (8) = \frac{32}{3} \pi$

حجم الكرة:
$V_{\text{الكرة}} = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1}{2} \times 2\right)^3 = \frac{4}{3} \pi$

حجم الآيس كريم:
$V_{\text{الآيس كريم}} = \frac{32}{3} \pi + \frac{4}{3} \pi = \frac{36}{3} \pi = 12 \pi$

تم استخدام القوانين الرياضية المعتادة المتعلقة بحجوم الأشكال الهندسية، مما أدى إلى الوصول إلى الحجم الإجمالي للآيس كريم.