حساب حاصل ضرب الجذور (مسألة رياضيات)

نريد حساب حاصل ضرب الجذور لمعادلة $x^3 – 12x^2 + 48x + 28 = 0$.

أولاً، سنستخدم قاعدة فييتا لحساب حاصل ضرب الجذور. لنفرض أن جذور المعادلة هي $x_1$، $x_2$، و $x_3$.

من المعادلة الكلاسيكية $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$، نعرف أن:

في هذه الحالة، لدينا:
$a = 1, \quad b = -12, \quad c = 48, \quad d = 28.$

باستخدام هذه القيم، نقوم بحساب حاصل ضرب الجذور:

$x_1x_2x_3 = -\frac{28}{1} = -28.$

إذاً، حاصل ضرب الجذور للمعادلة هو $-28$.

لحل مسألة حساب حاصل ضرب الجذور للمعادلة التي ذكرتها $x^3 – 12x^2 + 48x + 28 = 0$، سنستخدم قاعدة فييتا والتي تعتمد على بعض الخصائص الأساسية للمعادلات التالية:

1. قاعدة فييتا (Vieta’s Formulas): تتيح لنا قاعدة فييتا حساب بعض خصائص جذور المعادلة مثل حاصل جمع الجذور وحاصل ضربها بناءً على معاملات المعادلة.

2. معادلات درجة ثلاثة (Cubic Equations): المعادلات من هذه الدرجة عادة ما تحتوي على ثلاثة جذور، ويمكن التعبير عنها على الشكل القياسي $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$.

الآن، سنقوم بتفسير الخطوات التي اتبعناها في الحل:

1. تحديد المعاملات: نبدأ بتحديد المعاملات في المعادلة، حيث $a = 1$، $b = -12$، $c = 48$، و $d = 28$.

2. استخدام قاعدة فييتا: نستخدم قاعدة فييتا لحساب حاصل ضرب الجذور. حسب القاعدة، حاصل ضرب الجذور يكون يساوي النسبة بين المعامل الحرفي $d$ والمعامل الرئيسي $a$، أي $-\frac{d}{a}$.

3. حساب النتيجة: نقوم بوضع القيم المعرفة في القاعدة وحساب النتيجة. في حالتنا، نقوم بقسمة معامل $d$ على معامل $a$، وبالتالي حصلنا على $-28$ كحاصل ضرب الجذور.

بهذه الطريقة، نستخدم القوانين الرياضية والمعرفة حول المعادلات الثلاثية وقاعدة فييتا لحساب حاصل ضرب الجذور في المعادلة المعطاة.