حساب توسيع الدالة: قيمة المتغير المجهول. (مسألة رياضيات)

لنكن مصفوفة $\mathbf{D}$ بحيث تمثل التوسيع، مركزها الأصل، بعامل تكبير $X$. سنحاول الآن حساب قيمة المتغير المجهول $X$ عن طريق حساب ال Determinant.

المصفوفة $\mathbf{D}$ هي:

لحساب ال Determinant لمصفوفة $2 \times 2$، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

حيث أن $a$، $b$، $c$، و $d$ هي عناصر المصفوفة من اليسار إلى اليمين ومن الأعلى إلى الأسفل.

لذلك، في حالتنا:

ونعلم أنها تساوي $49$، لذا:

لحل هذه المعادلة، نأخذ الجذر التربيعي للجانبين:

لكن نظرًا لأن التوسيع يعني زيادة الحجم، فإن القيمة الممثلة للتوسيع لا يمكن أن تكون سالبة. لذلك، قيمة $X$ هي $7$.

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي $7$.

في هذه المسألة، نُطلب منا حساب قيمة المتغير المجهول $X$ في مصفوفة التوسيع $\mathbf{D}$، حيث أنها مصفوفة $2 \times 2$ تمثل التوسيع المركز عند الأصل بعامل تكبير $X$.

لحساب قيمة $X$، نستخدم الخاصية الرياضية لل Determinant. تتبع القوانين التالية:

1. قانون حساب ال Determinant لمصفوفة $2 \times 2$:

   لمصفوفة $2 \times 2$:

   $$\det(\mathbf{A}) = ad – bc$$

   حيث أن $\mathbf{A}$ هي المصفوفة:

   $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

2. قانون حساب التوسيع (Dilation):

   في التوسيع، يتم زيادة حجم الشكل الأصلي. وفي حالتنا، التوسيع يعني زيادة حجم الشكل بمعامل تكبير $X$.

بعد تعريف القوانين المستخدمة، نبدأ في حل المسألة:

نعطي المصفوفة التالية:

حيث أن الأعمدة والصفوف الأفقية والرأسية تمثل الاتجاهات في الفضاء، والعنصر الأول في كل صف أو عمود هو مكان الأصل.

نحسب ال Determinant:

وهذه القيمة تُساوي $49$، لذا:

لحل هذه المعادلة، نأخذ الجذر التربيعي للجانبين:

وتعطي:

لكن نظرًا لأن التوسيع يعني زيادة الحجم، فإن القيمة الممثلة للتوسيع لا يمكن أن تكون سالبة. لذا، قيمة $X$ هي $7$.

بالتالي، قيمة المتغير المجهول $X$ هي $7$.

يعتمد حل هذه المسألة على فهم الخصائص الأساسية للتوسيع وحساب ال Determinant لمصفوفة $2 \times 2$. من خلال تطبيق هذه القوانين، يمكننا حل المسألة بدقة وتحديد قيمة المتغير المجهول.