عدد أفراد عائلة سميث هو 4 أبناء و3 بنات، ويمكن ترتيبهم في صف من كراسي يُمثلها المتغير X بـ 4896 طريقة، بشرط أن يكون هناك على الأقل اثنان من الأبناء متجاورين. ما هو قيمة المتغير X؟
لحساب قيمة X، دعونا نقوم بحساب عدد الطرق التي يمكن فيها ترتيب الأفراد بحيث يكون هناك على الأقل اثنان من الأبناء متجاورين. لنبدأ بحساب الطرق التي يمكن فيها ترتيب الأفراد دون أي قيد.
إذاً، إجمالي عدد الطرق لترتيب الأفراد في الصف هو 7! (7 عوامل)، حيث يوجد 7 أفراد.
الآن، لنحسب عدد الطرق التي لا يكون فيها أي اثنين من الأبناء متجاورين. لذلك، يمكننا تحديد مواقع البنات بين الأولاد بحيث لا يكون هناك أبناء متجاورين. يمكن ترتيب البنات في الفراغات بين الأولاد بشكل يتبع النمط التالي: _ ب _ ب _ ب _ ب _ حيث الفراغات الفارغة بين الأولاد، والشرط هو ألا يكون هناك أبناء متجاورين. لدينا 4 فراغات يمكن ملؤها بالبنات بطرق مختلفة، وهي 4! (4 عوامل).
لذلك، عدد الطرق التي يمكن فيها ترتيب الأفراد دون وجود أبناء متجاورين هو 7! – 4! (4896 – 24) = 4872 طريقة.
الآن، لنجد عدد الطرق التي يكون فيها على الأقل اثنان من الأبناء متجاورين، يمكننا استخدام الفرق بين الإجمالي والحالات التي لا تحقق الشرط. إذاً، عدد الطرق التي تحقق الشرط هو 4896 – 4872 = 24 طريقة.
لنجد قيمة المتغير X، يجب ضرب هذا العدد في 2 لأن السؤال يطلب على الأقل اثنان من الأبناء متجاورين. إذاً، 24 * 2 = 48.
لذا، قيمة المتغير X هي 48.
المزيد من المعلومات
سنقوم بحساب عدد الطرق التي يمكن فيها ترتيب أفراد عائلة سميث في صف من الكراسي بحيث يكون هناك على الأقل اثنان من الأبناء متجاورين. سنستخدم قوانين الاحتمالات وتقنيات الترتيب لحل المسألة.
لنبدأ بحساب الطرق الإجمالية لترتيب الأفراد في الصف. لدينا 7 أفراد (4 أبناء و3 بنات)، ويمكن ترتيبهم في صف بـ X كرسيًا بـ 7! طريقة.
الآن، سنحسب عدد الطرق التي لا تلبي شرط أن يكون هناك على الأقل اثنان من الأبناء متجاورين. لتحقيق ذلك، سنقوم بتحديد مواقع البنات بحيث لا يكون هناك أبناء متجاورين. يمكن ترتيب البنات في الفراغات بين الأولاد بشكل يتبع النمط التالي: _ ب _ ب _ ب _ ب _، حيث الفراغات الفارغة بين الأولاد. يمكن ملء هذه الفراغات بالبنات بطرق مختلفة، وهي 4! طريقة.
إذاً، عدد الطرق التي لا تلبي الشرط هو 7! – 4! = 4872 طريقة.
الخطوة الأخيرة هي حساب الفرق بين الإجمالي وعدد الطرق التي لا تلبي الشرط للحصول على عدد الطرق التي تلبي الشرط. هذا يكون 4896 – 4872 = 24 طريقة.
المفتاح في هذا الحل هو استخدام مبدأ الفرق بين الإجمالي والحالات التي لا تلبي الشرط للوصول إلى الإجابة. قوانين الاحتمالات وتقنيات الترتيب تكون مفيدة في مثل هذه المسائل لتحديد عدد الحالات المطلوبة.