حساب تتاليات الدوال العكسية (مسألة رياضيات)

نريد حساب التالي:

$f(g^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(g(f(19)))))).$

لنقم بحسابها خطوة بخطوة:

أولاً، لنجد قيمة $f(19)$:
$f(19) = 19 + 2 = 21.$

ثانيًا، نستخدم $g$ على $f(19)$ للحصول على:
$g(f(19)) = g(21) = \frac{21}{3} = 7.$

ثالثًا، نريد الآن $f^{-1}$ على $7$، لذا:
$f^{-1}(7) = x \quad \text{حيث أن} \quad f(x) = 7.$
$x + 2 = 7 \Rightarrow x = 5.$

رابعًا، نستخدم $f^{-1}$ مرة أخرى على $7$، لذا:
$f^{-1}(7) = 5.$

خامسًا، نستخدم $f^{-1}$ مرة أخرى على $5$، لذا:
$f^{-1}(5) = x \quad \text{حيث أن} \quad f(x) = 5.$
$x + 2 = 5 \Rightarrow x = 3.$

سادسًا، نستخدم $g^{-1}$ على $3$، لذا:
$g^{-1}(3) = x \quad \text{حيث أن} \quad g(x) = 3.$
$\frac{x}{3} = 3 \Rightarrow x = 9.$

أخيرًا، نستخدم $f$ على $9$، للحصول على الإجابة النهائية:
$f(9) = 9 + 2 = 11.$

إذاً، قيمة التعبير المعطى هي $11$.

لنقم بحساب التعبير التالي:
$f(g^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(g(f(19)))))).$

قبل أن نقوم بالحساب، دعنا نتذكر بعض القوانين الأساسية في الجبر والدوال:

1. خاصية التركيبية للدوال: يمكن تطبيق دالة على نتيجة دالة أخرى.
2. الدالة العكسية: إذا كانت $y = f(x)$ دالة، فإن $x = f^{-1}(y)$ تعبر عن الدالة العكسية.
3. تعويض القيم: يمكن استبدال القيم في العبارات باستخدام القيم المقابلة لها.

الآن دعونا نقوم بالحساب خطوة بخطوة:

1. قيمة $f(19)$:
   $f(19) = 19 + 2 = 21.$

2. قيمة $g(f(19))$:
   $g(f(19)) = g(21) = \frac{21}{3} = 7.$

3. قيمة $f^{-1}(7)$:
   نجد $x$ حيث $f(x) = 7$، لذا:
   $x + 2 = 7 \Rightarrow x = 5.$

4. قيمة $f^{-1}(7)$ مرة أخرى:
   $f^{-1}(7) = 5.$

5. قيمة $f^{-1}(5)$:
   نجد $x$ حيث $f(x) = 5$، لذا:
   $x + 2 = 5 \Rightarrow x = 3.$

6. قيمة $g^{-1}(3)$:
   نجد $x$ حيث $g(x) = 3$، لذا:
   $\frac{x}{3} = 3 \Rightarrow x = 9.$

7. قيمة $f(9)$:
   $f(9) = 9 + 2 = 11.$

باختصار، قمنا بتطبيق عدة دوال على بعضها البعض واستخدمنا الخصائص الجبرية الأساسية للدوال والعكسيات. باستخدام هذه القوانين والتحويلات، حسبنا القيمة النهائية للتعبير المعطى.