حساب تابع رياضي بتكرار (مسألة رياضيات)

لنعيد صياغة المسألة الرياضية بشكل مترجم ومفصل:

لنفترض أن لدينا دالة $f(x)$ معرفة على جميع الأعداد الصحيحة $x \ge 0.$ يُعطى أن $f(1) = 1,$ ويتحقق التالي لكل الأعداد الصحيحة $a$ و $b$ حيث $a,$ $b \ge 0:$
$f(a + b) = f(a) + f(b) – 2f(ab)$

الآن، سنقوم بحساب قيمة $f(1986).$

للقيام بذلك، سنستخدم العلاقة التي تمثل الدالة $f(x)$ للأعداد الصحيحة. نبدأ بتحليل $f(2),$ حيث $a = b = 1$:
$f(2) = f(1) + f(1) – 2f(1 \cdot 1) = 1 + 1 – 2 \cdot 1 = 0$

الآن سنحسب $f(3),$ حيث $a = 1$ و $b = 2:$
$f(3) = f(1) + f(2) – 2f(1 \cdot 2) = 1 + 0 – 2 \cdot 0 = 1$

بهذه الطريقة، يمكننا حساب $f(4),$ $f(5),$ وهكذا. ونكرر هذه الخطوات حتى نصل إلى $f(1986).$ يمكن تلخيص الحل في جدول أو تسلسل من العلاقات، ولكن يجب تكرار العملية للحصول على القيمة النهائية لـ $f(1986).$

يرجى العلم أن هذه الطريقة قد تكون معقدة نوعًا ما نظرًا للحاجة إلى حساب القيم تدريجياً وتراكمياً. إلا أنها تمثل الطريقة المباشرة لحل المسألة بناءً على العلاقة المعطاة.

بالتأكيد، سنقوم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً وسنستعرض القوانين المستخدمة في العملية.

للبداية، لنستخدم العلاقة المعطاة:
$f(a + b) = f(a) + f(b) – 2f(ab)$

نريد حساب $f(1986).$ لفهم كيفية القيام بذلك، سنبدأ بحساب بعض القيم الأساسية باستخدام هذه العلاقة.

1. حساب $f(2):$
   $f(2) = f(1) + f(1) – 2f(1 \cdot 1) = 1 + 1 – 2 \cdot 1 = 0$

2. حساب $f(3):$
   $f(3) = f(1) + f(2) – 2f(1 \cdot 2) = 1 + 0 – 2 \cdot 0 = 1$

3. حساب $f(4):$
   $f(4) = f(2) + f(2) – 2f(2 \cdot 2) = 0 + 0 – 2 \cdot 0 = 0$

4. حساب $f(5):$
   $f(5) = f(2) + f(3) – 2f(2 \cdot 3) = 0 + 1 – 2 \cdot 0 = 1$

نرى هنا أن النمط يتكرر، ونجد أن قيم $f(n)$ حيث $n$ عدد فردي تكون مساوية للقيمة $1,$ وحيث $n$ عدد زوجي تكون مساوية للقيمة $0.$

القوانين المستخدمة:

1. العلاقة الرئيسية:
   $f(a + b) = f(a) + f(b) – 2f(ab)$

2. التكرار:
   $f(2) = f(1) + f(1) – 2f(1 \cdot 1)$

3. تطبيق التكرار للقيم:
   $f(3) = f(1) + f(2) – 2f(1 \cdot 2)$
   $f(4) = f(2) + f(2) – 2f(2 \cdot 2)$
   $f(5) = f(2) + f(3) – 2f(2 \cdot 3)$

يتم تطبيق هذه القوانين تكرارًا لحساب القيم اللازمة والوصول إلى $f(1986).$

يرجى مراعاة أن هذه العملية تحتاج إلى صبر ودقة في الحسابات، وقد تكون معقدة نوعًا ما نظرًا للاعتماد على الحسابات التكرارية.