حساب باقي الضرب عند القسمة (مسألة رياضيات)

نريد حساب باقي قسمة العدد $2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014$ على 5.

لحساب هذا الباقي، يمكننا استخدام مفهوم باقي القسمة عند الضرب. إذا كان لدينا عددين $a$ و $b$، فإن باقي قسمة حاصل الضرب $a \cdot b$ على عدد $m$ يمكن حسابه بالطريقة التالية:

$(a \cdot b) \mod m = ((a \mod m) \cdot (b \mod m)) \mod m$

نطبق هذه الفكرة على العملية في المسألة. لنحسب باقي قسمة كل عامل في الضرب على 5:

$2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014 \mod 5 = (((2011 \mod 5) \cdot (2012 \mod 5)) \cdot (2013 \mod 5) \cdot (2014 \mod 5)) \mod 5$

لنقم بحساب باقي قسمة كل عامل على 5:

$2011 \mod 5 = 1$
$2012 \mod 5 = 2$
$2013 \mod 5 = 3$
$2014 \mod 5 = 4$

الآن نقوم بتطبيق الفكرة في المعادلة:

$(((1 \cdot 2) \cdot 3) \cdot 4) \mod 5$

نحسب الضرب أولا:

$(2 \cdot 3) = 6$
$(6 \cdot 4) = 24$

الآن نحسب باقي قسمة 24 على 5:

$24 \mod 5 = 4$

إذا كان باقي قسمة $2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014$ على 5 هو 4.

لحل المسألة وحساب باقي قسمة العدد $2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014$ على 5، سنستخدم فكرة باقي القسمة عند الضرب والقوانين المتعلقة بذلك.

أولًا، سنقوم بحساب باقي قسمة كل عامل في الضرب على 5 باستخدام قاعدة باقي القسمة عند القسمة على 5:

$2011 \mod 5 = 1$
$2012 \mod 5 = 2$
$2013 \mod 5 = 3$
$2014 \mod 5 = 4$

الآن، نستخدم قاعدة باقي القسمة عند الضرب. للأعداد $a$ و $b$ و $m$، يمكن كتابة العلاقة التالية:

$(a \cdot b) \mod m = ((a \mod m) \cdot (b \mod m)) \mod m$

نقوم بتطبيق هذه العلاقة على المسألة:

$2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014 \mod 5$
$= (((2011 \mod 5) \cdot (2012 \mod 5)) \cdot (2013 \mod 5) \cdot (2014 \mod 5)) \mod 5$

ونستخدم القيم التي حسبناها سابقًا:

$= (((1 \cdot 2) \cdot 3) \cdot 4) \mod 5$

الآن نقوم بحساب الضرب:

$= (2 \cdot 3) \cdot 4$

$= 6 \cdot 4$

$= 24$

وأخيرًا، نحسب باقي قسمة 24 على 5:

$24 \mod 5 = 4$

إذا كان باقي قسمة $2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014$ على 5 هو 4.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة باقي القسمة عند القسمة على 5: إذا كانت $a \mod 5 = b \mod 5$، فإن أي عدد مضروب في $a$ يعطي نفس الباقي عند القسمة على 5.
2. قاعدة باقي القسمة عند الضرب: لأي أعداد صحيحة $a$ و $b$ و $m$، فإن $ (a \cdot b) \mod m = ((a \mod m) \cdot (b \mod m)) \mod m$.