حساب باقي الأسس الكبيرة

نريد حساب باقي قسمة فارق الأس 7 مرفوعة للأس 74 ناقصة من الأس 10 مرفوعة للأس 74 على 24. يمكننا البدء بتقسيم الأس 7 والأس 10 على حدة على 24 وبعد ذلك نحسب فارق الناتجين. سنبدأ أولاً بحساب الأس 7 مرفوعة للأس 74 على 24.

سنستخدم فكرة تكرار الباقي عند القسمة لتبسيط العملية. بدلاً من حساب الناتج بشكل مباشر ، سنقوم بتحليل الأس 7 في كل تكرار للعثور على نمط في الأبقاء.

نلاحظ أن لدينا نمطًا يتكرر بين القيم 7 و 1. يمكننا استخدام هذا النمط لتبسيط الحساب.

الآن سنقوم بحساب الأس 10 مرفوعة للأس 74 على 24.

نقوم بنفس العملية باستخدام تحليل الأس 10.

هنا أيضًا نجد نمطًا يتكرر بين القيم 10 و 4.

الآن نحسب فارق الناتجين.

لكننا نفضل أن يكون الباقي إيجابيًا ، لذا نقوم بإضافة 24 للناتج.

إذا كان باقي قسمة $7^{74} – 10^{74}$ على 24 هو 9.

سنقوم بحل مسألة باقي القسمة للتعبير $7^{74} – 10^{74} \pmod{24}$ بشكل مفصل باستخدام قوانين الحساب المتعلقة بالأسس وحساب الباقي عند القسمة.

1. حساب $7^{74} \pmod{24}$:
   يمكننا استخدام قاعدة فيرما للأعداد الصحيحة الصغيرة، وهي أنه إذا كان $a$ عددًا صحيحًا و$m$ عددًا صحيحًا إيجابيًا، وكان $a$ لا يقسم على $m$، فإنه يتبع أن:

   $a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$

   حيث $\phi(m)$ هي دالة أويلر للعدد $m$ وتمثل عدد الأعداد الصحيحة الصغيرة المتبقية عند قسمة $m$ على أقل من $m$ وتكون أولية مع $m$.

   في هذه الحالة، عددنا $m = 24$، ولذا $\phi(24) = 8$.

   نلاحظ أن $7$ لا يقسم على $24$، لذا:

   $7^8 \equiv 1 \pmod{24}$

   وبالتالي:

   $7^{74} = (7^8)^9 \equiv 1^9 \equiv 1 \pmod{24}$

2. حساب $10^{74} \pmod{24}$:
   بنفس الطريقة، نستخدم قاعدة فيرما مع $m = 24$ ونجد أن $\phi(24) = 8$.

   يتبع أن:

   $10^8 \equiv 1 \pmod{24}$

   وبالتالي:

   $10^{74} = (10^8)^9 \equiv 1^9 \equiv 1 \pmod{24}$

3. حساب الفارق والباقي:
   الآن، نحسب الفارق بين $7^{74}$ و$10^{74}$:

   $7^{74} – 10^{74} \equiv 1 – 1 \equiv 0 \pmod{24}$

   لذا، الناتج هو صفر.

في هذا الحل، استخدمنا قاعدة فيرما للأعداد الصحيحة الصغيرة لحساب الأس. أيضًا، استخدمنا تكرار الباقي عند القسمة لتبسيط الحسابات.