حساب الوقت لضعف الفائدة التراكمية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: “العثور على أقل عدد من السنوات الكاملة التي سيكون فيها مبلغ من المال المدفوع بنسبة 50٪ في الفائدة التراكمية أكثر من ضعف نفسه.”

للحل:

لنكن $P$ هو المبلغ الأصلي للمال، ولنكن $n$ هو عدد السنوات. نستخدم صيغة الفائدة التراكمية:

$A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$

حيث $A$ هو المبلغ النهائي، $r$ هو معدل الفائدة، و $n$ هو عدد السنوات.

وفي هذه المسألة، نريد أن يكون المبلغ النهائي أكثر من ضعف المبلغ الأصلي. لذا، نكتب المعادلة:

$A > 2P$

نعوض بالقيمة التي تمثلها صيغة الفائدة التراكمية:

$P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n > 2P$

نقوم بإلغاء $P$ من الطرفين:

$\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n > 2$

نأخذ لوغاريتم الطرفين للتخلص من الأس:

$n \cdot \log\left(1 + \frac{r}{100}\right) > \log(2)$

ثم نقوم بحساب قيمة $n$:

$n > \frac{\log(2)}{\log\left(1 + \frac{r}{100}\right)}$

وهذا هو العدد الأقل من السنوات الكاملة التي يكون فيها المبلغ المدفوع بنسبة 50٪ في الفائدة التراكمية أكثر من ضعف نفسه.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الفائدة التراكمية في الرياضيات المالية. سنستخدم القانون التالي:

$A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$

حيث:

• $A$ هو المبلغ النهائي بعد $n$ سنة.
• $P$ هو المبلغ الأصلي أو رأس المال.
• $r$ هو معدل الفائدة.
• $n$ هو عدد السنوات.

الهدف هو أن يكون المبلغ النهائي ($A$) أكثر من ضعف المبلغ الأصلي ($2P$). لذا، نكتب المعادلة:

$P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n > 2P$

نقوم بإلغاء $P$ من الطرفين:

$\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n > 2$

نأخذ لوغاريتم الطرفين للتخلص من الأس:

$n \cdot \log\left(1 + \frac{r}{100}\right) > \log(2)$

ثم نقوم بحساب قيمة $n$:

$n > \frac{\log(2)}{\log\left(1 + \frac{r}{100}\right)}$

هذا الناتج يعطينا العدد الأقل من السنوات الكاملة التي يحتاجها المبلغ ليصبح أكثر من ضعف نفسه.

القوانين المستخدمة هي:

1. صيغة الفائدة التراكمية: $A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$ – حيث يُحسب المبلغ النهائي باستخدام المعدل السنوي للفائدة وعدد السنوات.
2. مبدأ إلغاء العوامل المشتركة: عند قسمة الطرفين على $P$، يتم إلغاء $P$ من الطرفين.
3. تطبيق لوغاريتم الطرفين: لحساب القوة التي يحتاجها الأس للوصول إلى الناتج المطلوب.
4. المقارنة بين النواتج: استخدمنا النواتج لتحديد الشرط الضروري لتحقيق المطلوب وهو أن يكون المبلغ النهائي أكثر من ضعف المبلغ الأصلي.