حساب الوقت لإكمال العمل (مسألة رياضيات)

عندما يعمل كل من أرون وتارون معًا، يستطيعان إتمام عمل في 10 أيام. بعد مرور 4 أيام، غادر تارون إلى قريته. الآن، يرغب السائل في معرفة كم يحتاج أرون وحده لإتمام العمل الباقي، علماً بأن أرون يمكنه إكمال العمل بمفرده في 30 يومًا.

لحساب ذلك، نبدأ بحساب معدل عمل أرون في اليوم الواحد. إذاً، يمكننا استخدام معادلة العمل الفعّال، التي تقول إن العمل الفعّال يتناسب عكسيًا مع الزمن. إذاً، يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:

$\text{عمل أرون في اليوم الواحد} = \frac{1}{\text{الوقت الذي يحتاجه أرون لإتمام العمل بمفرده}}$

$\text{عمل أرون في اليوم الواحد} = \frac{1}{30}$

الآن، علينا حساب العمل الذي أنجزهما أرون وتارون خلال الأيام الأربعة الأولى. يمكننا استخدام العمل الفعّال لحساب ذلك:

$\text{العمل الذي أنجزهما أرون وتارون في اليوم الواحد} = \frac{1}{\text{الزمن الإجمالي للعمل معًا}}$

$\text{العمل الذي أنجزهما أرون وتارون في اليوم الواحد} = \frac{1}{10}$

الآن، نحسب العمل الذي قاموا به خلال الأيام الأربعة الأولى:

$\text{العمل الذي قاموا به في الأيام الأربعة الأولى} = \text{العمل الذي أنجزهما في اليوم الواحد} \times \text{عدد الأيام}$

$\text{العمل الذي قاموا به في الأيام الأربعة الأولى} = \frac{1}{10} \times 4$

الآن، يمكننا حساب العمل الباقي الذي يحتاج أرون إلى إنجازه بمفرده:

$\text{العمل الباقي لأرون} = 1 – \text{العمل الذي قاموا به في الأيام الأربعة الأولى}$

$\text{العمل الباقي لأرون} = 1 – \frac{1}{10} \times 4$

الآن، لحساب الزمن الذي يحتاجه أرون لإكمال العمل الباقي، نستخدم العمل الفعّال:

$\text{الزمن الذي يحتاجه أرون لإكمال العمل الباقي} = \frac{1}{\text{عمل أرون في اليوم الواحد}} \times \text{العمل الباقي لأرون}$

$\text{الزمن الذي يحتاجه أرون لإكمال العمل الباقي} = \frac{1}{\frac{1}{30}} \times \left(1 – \frac{1}{10} \times 4\right)$

$\text{الزمن الذي يحتاجه أرون لإكمال العمل الباقي} = 30 \times \left(1 – \frac{1}{10} \times 4\right)$

$\text{الزمن الذي يحتاجه أرون لإكمال العمل الباقي} = 30 \times \left(1 – \frac{4}{10}\right)$

$\text{الزمن الذي يحتاجه أرون لإكمال العمل الباقي} = 30 \times \frac{6}{10}$

$\text{الزمن الذي يحتاجه أرون لإكمال العمل الباقي} = 18$

إذاً، يحتاج أرون إلى 18 يومًا لإكمال العمل الباقي بمفرده.

تلك المسألة يمكن حلها باستخدام مفهوم العمل الفعّال والقوانين المتعلقة به. لنبدأ بتوضيح الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل:

1. مفهوم العمل الفعّال:

   • العمل الفعّال هو مفهوم يشير إلى كمية العمل التي يمكن أداؤها في وحدة زمنية واحدة.
   • يتناسب العمل الفعّال عكسيًا مع الوقت، أي أن زيادة العمل الفعّال تعني أداء أقل في وحدة زمنية والعكس صحيح.

2. القانون المتعلق بالعمل الفعّال:

   • إذا كانت $A_1, A_2, A_3, …$ هي معدلات العمل لأفراد معينين، فإن معدل العمل الفعّال عند العمل معًا يُحسب كالتالي:
     $\text{معدل العمل الفعّال} = A_1 + A_2 + A_3 + …$

3. حساب العمل الذي أنجزهما في الأيام الأربعة الأولى:

   • نستخدم القانون المتعلق بالعمل الفعّال لحساب العمل الذي أنجزهما أرون وتارون خلال الأيام الأربعة الأولى.
     $\text{العمل الذي أنجزهما في اليوم الواحد} = \frac{1}{10}$
     $\text{العمل الذي قاموا به في الأيام الأربعة الأولى} = \frac{1}{10} \times 4$

4. حساب العمل الباقي لأرون:

   • نستخدم فكرة أن إجمالي العمل هو وحدة كاملة (1)، ونحسب العمل الباقي لأرون.
     $\text{العمل الباقي لأرون} = 1 – \text{العمل الذي قاموا به في الأيام الأربعة الأولى}$

5. حساب الزمن الذي يحتاجه أرون لإكمال العمل الباقي:

   • نستخدم العمل الفعّال معدل عمل أرون لحساب الزمن الذي يحتاجه لإتمام العمل الباقي.
     $\text{الزمن الذي يحتاجه أرون} = \frac{1}{\text{عمل أرون في اليوم الواحد}} \times \text{العمل الباقي لأرون}$
     $\text{الزمن الذي يحتاجه أرون} = 30 \times \left(1 – \frac{1}{10} \times 4\right)$

6. الناتج:

   • بعد الحسابات، نجد أن أرون يحتاج إلى 18 يومًا لإكمال العمل الباقي بمفرده.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، يمكن للشخص حل مثل هذه المسائل بطريقة فعّالة ودقيقة.