حساب النطاق لدوال الأسية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

إذا كانت الدالة $f(x) = x^k$ حيث $k > 0$، ما هو نطاق الدالة $f(x)$ على الفاصل $(X, \infty)$؟ إذا كنا نعلم أن إجابة هذا السؤال هي $[1, \infty)$، ما هي قيمة المتغير غير المعروف $X$؟

الحل:

نريد حساب نطاق الدالة $f(x) = x^k$ على الفاصل $(X, \infty)$. لنقم بذلك، نبدأ بفحص الدالة نفسها. الدالة هي عبارة عن قوة عدد حقيقي $x$ بأساس حقيقي موجب $k$. عندما ننظر إلى الفاصل الذي يبدأ من $X$ ويمتد إلى اللانهاية، نجد أنه كلما زادت قيمة $x$، زادت أيضًا قيمة الدالة $f(x)$.

نتذكر أن $k > 0$، وبالتالي الأساس إيجابي. عندما نقوم برفع عدد إيجابي إلى أس أيضًا إيجابي، وبالتالي لا يمكن أن يكون للدالة قيمة سالبة.

النطاق الذي تمثله إجابة السؤال هو $[1, \infty)$، وهذا يشير إلى أن الدالة تأخذ أي قيمة على الفاصل $(X, \infty)$ متضمنة الوحدة وما بعدها.

بما أن النطاق يبدأ من 1، فإن $X$ يمكن أن يكون أي قيمة أقل من 1. بمعنى آخر، يمكن أن يكون $X$ أي عدد حقيقي يقل عن 1.

إذاً، القيمة الممكنة للمتغير $X$ هي أي عدد حقيقي يكون أقل من 1.

لحل هذه المسألة، نستخدم خصائص الدوال الأسية ونحل المعادلة التي تحدد النطاق على الفاصل $(X, \infty)$.

الدالة المعطاة هي $f(x) = x^k$ حيث $k > 0$. لنحدد النطاق على الفاصل $(X, \infty)$، نعتبر الحد السفلي للنطاق وهو $X$.

النطاق المعطى هو $[1, \infty)$. هذا يعني أن الدالة تأخذ أي قيمة متضمنة الوحدة وما بعدها. لنحدد القيمة الممكنة للمتغير $X$، نستخدم الحد الأدنى للنطاق وهو 1.

المعادلة التي نحلها هي:
$f(x) \geq 1$

ونقوم بتعويض الدالة $f(x) = x^k$ في المعادلة:
$x^k \geq 1$

نريد حساب القيم الممكنة لـ $x$، لنعمل على التخلص من الأس $k$، نأخذ جذر $k$ من الطرفين:
$x \geq 1^{\frac{1}{k}}$

ونعلم أن $1^{\frac{1}{k}}$ هو 1، لذا المعادلة تصبح:
$x \geq 1$

وهذا يؤكد مرة أخرى أن الدالة تأخذ أي قيمة متضمنة الوحدة وما بعدها، ولكن بما أن النطاق على الفاصل $(X, \infty)$، فإن القيم الممكنة للمتغير $X$ هي أي عدد حقيقي يكون أقل من 1.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. خاصية الأس الإيجابي: نستخدم خاصية أن الأس إيجابي، لذا عند رفع عدد إيجابي إلى أس إيجابي، يظل الناتج إيجابيًا.

2. حساب الجذر: للتخلص من الأس في المعادلة، نستخدم عملية حساب الجذر.

3. تحديد النطاق: نستخدم إشارة اللامساواة لتحديد النطاق، ونقوم بتعويض الدالة في المعادلة لتحديد القيم الممكنة.