حساب المنتج الداخلي للفرق في الفضاء الخطي (مسألة رياضيات)

إذا كانت $|\mathbf{a}| = X$ و $|\mathbf{b}| = 6$، فما هو قيمة $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b})$؟

لحل هذه المسألة، نحتاج أولاً إلى فهم ما تعنيه العمليات الموجودة في السؤال.

$(\mathbf{a} + \mathbf{b})$ تمثل جمع الفضاءين البيانيين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$، و$(\mathbf{a} – \mathbf{b})$ تمثل الفرق بينهما.

الآن، نستخدم قاعدة ضرب القطع الجبرية لحساب الناتج:
$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b}) = \|\mathbf{a}\|^2 – \|\mathbf{b}\|^2$

حيث $|\mathbf{a}|^2$ تمثل مربع طول $\mathbf{a}$، و $|\mathbf{b}|^2$ تمثل مربع طول $\mathbf{b}$.

وبما أننا نعرف أن الناتج المطلوب هو $-27$، فإننا نستطيع تعويض القيم في الصيغة وحل المعادلة:

$X^2 – 6^2 = -27$

الآن، سنقوم بحساب القيمة المطلوبة لـ $X$.

بدايةً، نقوم بحساب $6^2$:
$6^2 = 36$

ثم، نقوم بإضافة $36$ إلى الجانب الأيسر من المعادلة:
$X^2 – 36 = -27$

والآن نقوم بإضافة $36$ إلى الجانب الأيمن للمعادلة للتخلص من الثابت:
$X^2 = -27 + 36$
$X^2 = 9$

الآن نقوم باستخراج الجذر التربيعي للجانب الأيسر للمعادلة للحصول على قيمة $X$:
$X = \sqrt{9}$
$X = 3$

إذاً، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي $3$.

في هذه المسألة الرياضية، نحاول حساب الناتج $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b})$ حيث تمثل $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ نقاطًا في الفضاء، و $|\mathbf{a}|$ و $|\mathbf{b}|$ تمثل طول كل نقطة على التوالي.

لحل هذا النوع من المسائل، نستخدم قوانين جبر الخوارزمي والخواص الجبرية المعروفة. الخواص المستخدمة هي:

1. ضرب القطع الجبرية:
   يمكننا استخدام خاصية ضرب القطع الجبرية لحساب $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b})$، حيث تتحول هذه العملية إلى فرق مربعي طول كل نقطة.

2. قاعدة مربعات الفرق:
   نستخدم قاعدة مربعات الفرق لتحويل $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b})$ إلى فرق مربعي طول كل نقطة.

بموجب هذه القوانين، يمكننا الآن الانتقال إلى حساب الناتج.

أولاً، نستخدم ضرب القطع الجبرية:
$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b}) = \|\mathbf{a}\|^2 – \|\mathbf{b}\|^2$

والآن، بعد تعويض القيم المعطاة في السؤال، نحصل على:
$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b}) = X^2 – 6^2$

ونعلم أن هذا الناتج يساوي $-27$، لذلك:
$X^2 – 36 = -27$

الآن، نقوم بإضافة $36$ إلى كلا الجانبين من المعادلة للتخلص من الثابت:
$X^2 = -27 + 36$
$X^2 = 9$

وأخيراً، نستخرج الجذر التربيعي لكلا الجانبين للحصول على قيمة $X$:
$X = \sqrt{9}$
$X = 3$

وبالتالي، قيمة المتغير المطلوبة $X$ تساوي $3$.