حساب المقسمين للعدد مربعه (مسألة رياضيات)

نريد حساب عدد المقسمين الصحيحين الإيجابيين ل$n^2$ التي أقل من $n$ ولكنها لا تقسم $n$.
لنقوم أولا بتحديد $n^2$، حيث:
$n^2 = (2^{31}3^{19})^2 = 2^{62}3^{38}$

الآن، لحساب عدد المقسمين الصحيحين لـ$n^2$ التي أقل من $n$ ولا تقسم $n$، يجب أولا معرفة كيفية تمثيل $n$ و$n^2$ في شكلها الأساسي لمعرفة العلاقة بينهما.

التمثيل الأساسي لـ $n$ هو:
$n = 2^{31}3^{19}$

والتمثيل الأساسي لـ $n^2$ هو:
$n^2 = 2^{62}3^{38}$

الآن، لنحسب عدد المقسمين الصحيحين لـ $n^2$ التي أقل من $n$ ولا تقسم $n$، يجب أولا فحص العلاقة بين $n$ و$n^2$.

نرى أنه لو كان مقسمًا لـ$n$، فسيكون قوة 2 في التمثيل الأساسي له هو 0 إلى 31 والقوة 3 هي من 0 إلى 19.

بمعنى آخر، لا يمكن أن يحتوي أي عامل من عوامل المقسومات الصحيحة التي أقل من $n$ قوة تتجاوز 31 للعدد 2 أو 19 للعدد 3.

بما أن $n^2$ يحتوي على قوة 2 تتجاوز 31 وقوة 3 تتجاوز 19، فإنه يمكن أن يكون المقسمين الصحيحين لـ $n^2$ التي أقل من $n$ ولا تقسم $n$ هي تلك التي تحتوي على العوامل التي تتجاوز القوة المسموح بها في $n$.

للعدد 2، يمكن أن تكون القوة من 32 إلى 61.
للعدد 3، يمكن أن تكون القوة من 20 إلى 37.

نحسب العدد الإجمالي للقوى المسموح بها لكل عامل:

للعدد 2: $61 – 32 + 1 = 30$
للعدد 3: $37 – 20 + 1 = 18$

نضرب العددين معًا للحصول على العدد الإجمالي للمقسمين الصحيحين لـ $n^2$ التي أقل من $n$ ولا تقسم $n$:

$30 \times 18 = 540$

إذًا، هناك 540 مقسمًا صحيحًا إيجابيًا لـ $n^2$ التي أقل من $n$ ولا تقسم $n$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الأعداد الأولية وقوانين الأعداد الصحيحة. الهدف هو حساب عدد المقسمين الصحيحين لـ $n^2$ التي أقل من $n$ ولكنها لا تقسم $n$.

قوانين الأعداد الصحيحة التي سنستخدمها تشمل:

1. قانون تفكيك الأعداد: يمكن تفكيك أي عدد صحيح إلى عوامله الأولية.
2. قوانين الأعداد الأولية: عوامل عدد أولي هي الأعداد الصحيحة التي لا يمكن تقسيمها إلا على نفسها وعلى الواحد.
3. قوانين الأسس: في حالة الأعداد المربعة، يمكن تمثيلها كمضاعفات متكررة لعواملها الأساسية.

الآن، دعونا نركز على حل المسألة:

1. نحسب $n^2$:
   $n^2 = (2^{31}3^{19})^2 = 2^{62}3^{38}$

2. نفحص العوامل الأولية لـ $n^2$ ونحدد كيفية تمثيلها. يمكن تمثيلها بمضاعفات عواملها الأولية.

3. نلاحظ أن لو كان المقسم مقسمًا لـ $n$، فسيحتوي على عوامل مماثلة لـ $n$.

4. بالتالي، يجب أن تتجاوز القوة الأولية للعوامل في المقسم العدد $n$ حتى يكون لها مقسم آخر غير $n$.

من هذه الملاحظات، نعلم أن الأعداد التي تقسم $n^2$ ولكنها لا تقسم $n$ يجب أن تحتوي على عوامل أولية تفوق القوة الموجودة في $n$.

لعدد 2، فإن القوة الأولية المسموح بها للقسمة يمكن أن تتجاوز 31 (حيث تبدأ القوة في $2^0$ وتنتهي في $2^{31}$).
لعدد 3، فإن القوة الأولية المسموح بها للقسمة يمكن أن تتجاوز 19 (حيث تبدأ القوة في $3^0$ وتنتهي في $3^{19}$).

نحسب عدد المقسمين الصحيحين لـ $n^2$ التي أقل من $n$ ولا تقسم $n$ كمنتج لعدد الأعداد الممكنة لكل عامل:

1. لعدد 2: يمكن أن تكون القوة من 32 إلى 61، أي $61 – 32 + 1 = 30$ عدداً.
2. لعدد 3: يمكن أن تكون القوة من 20 إلى 37، أي $37 – 20 + 1 = 18$ عدداً.

نضرب عدد الأعداد الممكنة لكل عامل للحصول على الإجمالي:

$30 \times 18 = 540$

إذًا، هناك 540 مقسمًا صحيحًا إيجابيًا لـ $n^2$ التي أقل من $n$ ولا تقسم $n$.