حساب المصفوفة المعكوسة: تحليل وحل (مسألة رياضيات)

المصفوفة المعطاة هي:
$\begin{pmatrix} 9 & 18 \\ -6 & -12 \end{pmatrix}$

لحساب المصفوفة المعكوسة، يجب أولاً التحقق مما إذا كانت المصفوفة لديها مصفوفة معكوسة أم لا. يتم ذلك عن طريق حساب ال determinante. إذا كان ال determinante للمصفوفة غير صفر، فإن المصفوفة لديها مصفوفة معكوسة.

لحساب الم determinante للمصفوفة:
$det(A) = (9 \times -12) – (18 \times -6)$
$det(A) = -108 + 108$
$det(A) = 0$

نجد أن الم determinante تساوي صفر، وبالتالي المصفوفة لا تحتوي على مصفوفة معكوسة. لذا الإجابة هي المصفوفة الصفراء:
$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

حل المسألة:

المصفوفة المعطاة هي:
$A = \begin{pmatrix} 9 & 18 \\ -6 & -12 \end{pmatrix}$

نريد حساب المصفوفة المعكوسة $A^{-1}$ أو التحقق مما إذا كانت المصفوفة لديها مصفوفة معكوسة. يتم ذلك عن طريق حساب ال determinante.

ال determinante للمصفوفة $A$ هو:
$det(A) = (9 \times -12) – (18 \times -6)$
$det(A) = -108 + 108$
$det(A) = 0$

التحقق من أن ال determinante يساوي صفر يعني أن المصفوفة لا تحتوي على مصفوفة معكوسة.

قوانين المصفوفات المستخدمة في الحل:

1. قانون الضرب بعدد:
   إذا كانت $A$ مصفوفة و$c$ عدد حقيقي، فإن ضرب $c$ في $A$ يكون المصفوفة $cA$ حيث يتم ضرب كل عنصر في $A$ في $c$.

2. قانون الجمع والطرح:
   إذا كانت $A$ و$B$ مصفوفتين من نفس الحجم، فإن جمعهما أو طرحهما يتم عن طريق جمع أو طرح العناصر المتواجدة في نفس الموقع.

3. قانون الضرب المصفوفي:
   إذا كانت $A$ مصفوفة من الحجم $m \times n$ و $B$ مصفوفة من الحجم $n \times p$. يكون حاصل الضرب $AB$ مصفوفة حجمها $m \times p$. يتم حساب كل عنصر في $AB$ بجمع ضرب عناصر الصف في $A$ بالعناصر المتواجدة في العمود في $B$.

4. ال determinante:
   لمصفوفة $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ حيث $ad – bc$ يعتبر determinante لها.

في هذه المسألة، استخدمنا قانون ال determinante للتحقق مما إذا كانت المصفوفة لديها مصفوفة معكوسة أم لا، حيث إذا كان ال determinante يساوي صفر، فإن المصفوفة لا تحتوي على مصفوفة معكوسة.