حساب المسافة بين نقطتين في الفضاء. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
ما هو المسافة، بوحدات القياس، بين النقطتين $(-3، -4)$ و $(4، -5)$؟ قم بتعبير إجابتك بأبسط صورة جذرية.

الحل:
لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء، نستخدم القاعدة الرياضية لمسافة نقطتين $(x_1، y_1)$ و $(x_2، y_2)$ والتي تكون كالتالي:
$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

في هذه الحالة، لدينا النقطتين $(-3، -4)$ و $(4، -5)$. لنقم بحساب المسافة بينهما، نستخدم القاعدة المذكورة أعلاه:

$d = \sqrt{(4 – (-3))^2 + ((-5) – (-4))^2}$

قم بحساب القيم الفردية داخل الأقواس أولاً:

$d = \sqrt{(7)^2 + (-1)^2}$

ثم، قم بتبسيط التعبير:

$d = \sqrt{49 + 1}$

الآن، يمكننا كتابة المسافة بأبسط صورة جذرية:

$d = \sqrt{50}$

لكن يمكن تبسيط الجذر إلى:

$d = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$

إذاً، المسافة بين النقطتين هي $5 \sqrt{2}$ وحدة.

بالتأكيد، دعونا نوسع على حل المسألة ونتناول القوانين والخطوات المستخدمة في العملية الحسابية.

أولاً، لنحسب المسافة بين نقطتين في الفضاء، نستخدم مبدأ المسافة بين نقطتين في النظام الإحداثي الثنائي. يتم تعبير هذا المبدأ بالصيغة التالية:
$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

حيث $d$ هو المسافة بين النقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$.

في هذه المسألة، لدينا نقطتين: $(-3, -4)$ و $(4, -5)$. لذا، يمكننا استخدام الصيغة لحساب المسافة. نكتب الصيغة كالتالي:
$d = \sqrt{(4 – (-3))^2 + ((-5) – (-4))^2}$

تبدأ الخطوة الأولى بحساب الفارق في الأقواس:
$d = \sqrt{(7)^2 + (-1)^2}$

ثم نقوم بتبسيط الأقواس:
$d = \sqrt{49 + 1}$

الآن، يمكننا كتابة المسافة بأبسط صورة جذرية:
$d = \sqrt{50}$

ونحن نعرف أن $\sqrt{50}$ يمكن تبسيطها إلى:
$d = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$

لذا، المسافة بين النقطتين هي $5 \sqrt{2}$ وحدة.

القوانين المستخدمة هنا هي قوانين الجبر والهندسة الرياضية، وتحديدًا مبدأ المسافة بين نقطتين في النظام الإحداثي الثنائي. يتمثل الحل في تطبيق هذه القوانين بشكل دقيق ودقيق للوصول إلى الإجابة النهائية.