حساب المسافة بين نقطتين في الفضاء (مسألة رياضيات)

نعتبر نقطة $P$ على الخط
$\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$
ونفترض أن هناك نقطة $Q$ على الخط
$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ X \\ -1 \end{pmatrix}.$

لحساب المسافة القصوى بين النقطتين $P$ و $Q$، يمكننا استخدام القاعدة التالية:

$PQ = \frac{\left|\vec{PQ}\right|}{\left\|\vec{v}\right\|},$

حيث $\vec{PQ}$ هو الفرق بين نقطتي $P$ و $Q$، و $\vec{v}$ هو الاتجاه الذي يحدد الخط.

لحساب $\vec{PQ}$، نطرح نقطة $Q$ من نقطة $P$:

$\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ X \\ -1 \end{pmatrix} – \left(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right).$

نقوم بعمليات الجمع والطرح للحصول على $\vec{PQ}$:

$\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 0 – (3 + 2t) \\ 0 – (-1 – 2t) \\ 4 – (2 + t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 – 2t \\ 1 + 2t \\ 2 – t \end{pmatrix}.$

الآن، نحسب الطول الإجمالي $\left|\vec{PQ}\right|$ باستخدام العلاقة:

$\left|\vec{PQ}\right| = \sqrt{(-3 – 2t)^2 + (1 + 2t)^2 + (2 – t)^2}.$

للعثور على القيمة الدنيا للمسافة، يمكننا تحسين الدالة أعلاه. يتم ذلك عندما يكون المعاملات داخل الجذر التربيعي هي الحد الأدنى:

$(2t + 3)^2 + (2t + 1)^2 + (t – 2)^2$

نقوم بتوسيع وتبسيط هذه العبارة للحصول على:

$9t^2 + 12t + 14.$

الآن، للعثور على قيمة $t$ التي تقلل هذا المتبقي إلى الحد الأدنى، يمكننا استخدام الرياضيات أو الجبر لحساب القيمة الصحيحة لـ $t$.

نضع المعادلة الناتجة تحت الجذر ونقوم بحساب القيمة المطلوبة:

$9t^2 + 12t + 14 = 0.$

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب الجذور:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}.$

في هذا السياق، نحتاج إلى تحديد قيم $a$, $b$, و $c$، حيث:

$a = 9, \quad b = 12, \quad c = 14.$

نستخدم هذه القيم في الصيغة:

$t = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 – 4(9)(14)}}{2(9)}.$

نقوم بحساب القيم:

$t = \frac{-12 \pm \sqrt{144 – 504}}{18} = \frac{-12 \pm \sqrt{-360}}{18}.$

يمكننا تبسيط هذا إلى:

$t = \frac{-12 \pm 6i\sqrt{5}}{18} = -\frac{2}{3} \pm \frac{1}{3}i\sqrt{5}.$

لاحظ أن هذه القيم ليست حقيقية، ولكنها قيم معقدة تحتوي على الوحدة التخيلية $i$. يعني هذا أن الحد الأدنى للمسافة يحدث عند $t$ المعقد.

إذاً، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي جزء الخانة الخيالية للقيمة المعقدة $t$، والتي هي $\sqrt{5}$.

بالتالي، القيمة المطلوبة لـ $X$ هي $\sqrt{5}$.

لحل هذه المسألة، نحن نستخدم مفهوم الإشارة الوحدة لحساب المسافة بين نقطتين على الفضاء. القانون الرئيسي الذي نستخدمه هو قانون الإشارة الوحدة الذي يقول:

$PQ = \frac{\left|\vec{PQ}\right|}{\left\|\vec{v}\right\|},$

حيث $\vec{PQ}$ هو الفرق بين نقطتي $P$ و $Q$، و $\vec{v}$ هو الاتجاه الذي يحدد الخط.

لحساب $\vec{PQ}$، نقوم بطرح نقطة $Q$ من نقطة $P$:

$\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -3 – 2t \\ 1 + 2t \\ 2 – t \end{pmatrix}.$

ثم نحسب الطول الإجمالي $\left|\vec{PQ}\right|$ باستخدام العلاقة:

$\left|\vec{PQ}\right| = \sqrt{(-3 – 2t)^2 + (1 + 2t)^2 + (2 – t)^2}.$

الخطوة التالية هي تحسين هذا التعبير. يتم ذلك عندما نقوم بتحديد القيمة الدنيا للتعبير داخل الجذر التربيعي:

$(2t + 3)^2 + (2t + 1)^2 + (t – 2)^2.$

نقوم بتوسيع وتبسيط هذه العبارة للحصول على:

$9t^2 + 12t + 14.$

الآن، نحسب القيمة الدنيا للتعبير باستخدام الجبر. نستخدم الصيغة التالية:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}.$

حيث $a$, $b$, و $c$ هي معاملات المعادلة الثانوية:

$a = 9, \quad b = 12, \quad c = 14.$

نستخدم هذه القيم في الصيغة:

$t = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 – 4(9)(14)}}{2(9)}.$

نقوم بحساب القيم:

$t = \frac{-12 \pm \sqrt{144 – 504}}{18} = \frac{-12 \pm \sqrt{-360}}{18}.$

يمكننا تبسيط هذا إلى:

$t = \frac{-12 \pm 6i\sqrt{5}}{18} = -\frac{2}{3} \pm \frac{1}{3}i\sqrt{5}.$

لكننا نعلم أن هذه القيم ليست حقيقية، ولكنها قيم معقدة. يعني ذلك أن الحد الأدنى للمسافة يحدث عند $t$ المعقد.

القيمة المطلوبة لـ $X$ هي جزء الخانة الخيالية للقيمة المعقدة $t$. إذاً، $X = \sqrt{5}$.

لحل هذه المسألة، استخدمنا مفهوم الإشارة الوحدة والرياضيات الجبرية لحساب القيم المطلوبة.