حساب المسافة بين نقطتين على كرات مختلفة (مسألة رياضيات)

نبحث عن أبعد نقطتين على كرة نصف قطرها 19 ومركزها $(-2,-10,5)$ وكرة نصف قطرها 87 ومركزها $(12,8,-16)$. سنقوم بحساب المسافة بين هاتين النقطتين.

لحساب المسافة بين نقطتين على الكرة، يمكن استخدام القوانين الجيومترية للمسافة على الكرة. واحدة من هذه القوانين تعطي المسافة بين نقطتين $A$ و $B$ على سطح الكرة مع نصف قطر $R$ على النحو التالي:

$d = R \times \arccos(\sin(\phi_A) \times \sin(\phi_B) + \cos(\phi_A) \times \cos(\phi_B) \times \cos(\Delta\lambda))$

حيث أن:

• $d$ هي المسافة بين النقطتين على سطح الكرة.
• $R$ هو نصف قطر الكرة.
• $\phi_A$ و $\phi_B$ هم خطوط الطول للنقطتين A و B على السطح.
• $\Delta\lambda$ هو الفرق بين خط الطول للنقطتين A و B.

أولاً، سنحسب الإحداثيات الكروية لكل نقطة. لفعل ذلك، سنحسب الطول والعرض من المراكز إلى النقطة. ثم سنحسب المسافة بين النقطتين باستخدام الصيغة السابقة.

للكرة الأولى:

• نقطة على سطح الكرة: $(x_1, y_1, z_1) = (-2, -10, 5)$
• نصف قطر الكرة: $R_1 = 19$

للكرة الثانية:

• نقطة على سطح الكرة: $(x_2, y_2, z_2) = (12, 8, -16)$
• نصف قطر الكرة: $R_2 = 87$

لحساب المسافة بين هاتين النقطتين، سنقوم بتحويل الإحداثيات إلى إحداثيات كروية، ثم سنستخدم الصيغة الجغرافية المذكورة أعلاه.

للكرة الأولى:
$\phi_1 = \arcsin\left(\frac{z_1}{R_1}\right) = \arcsin\left(\frac{5}{19}\right)$
$\lambda_1 = \arctan2(y_1, x_1) = \arctan2(-10, -2)$

للكرة الثانية:
$\phi_2 = \arcsin\left(\frac{z_2}{R_2}\right) = \arcsin\left(\frac{-16}{87}\right)$
$\lambda_2 = \arctan2(y_2, x_2) = \arctan2(8, 12)$

الآن سنستخدم هذه القيم في الصيغة لحساب المسافة $d$ بين النقطتين على السطح:

$d = R \times \arccos\left(\sin(\phi_1) \times \sin(\phi_2) + \cos(\phi_1) \times \cos(\phi_2) \times \cos(\Delta\lambda)\right)$

حيث $\Delta\lambda = \lambda_2 – \lambda_1$.

بعد حساب القيم، سنقوم بإيجاد أكبر مسافة بين النقطتين.

في هذه المسألة، نبحث عن النقطتين على كرات مختلفة، ونريد حساب المسافة بينهما على سطح الكرة. القوانين التي سنستخدمها تتعلق بالهندسة الكروية وحساب المسافات على كرة.

القوانين المستخدمة:

1. التحويل إلى إحداثيات كروية: في هذه الخطوة، نقوم بتحويل الإحداثيات الكارتيسية لكل نقطة على الكرة إلى إحداثيات كروية، والتي تشمل الطول الزاوي (longitude) والعرض الزاوي (latitude).

2. قانون حساب المسافة على سطح الكرة: نستخدم قانون جيومتري يعتمد على دائرة العرض وخط الطول لحساب المسافة بين نقطتين على سطح الكرة.

   القانون يقوم بحساب الزاوية بين النقطتين ومن ثم يستخدم هذه الزوايا لحساب المسافة بين النقطتين باستخدام نصف قطر الكرة.

حل المسألة:

1. تحويل الإحداثيات إلى إحداثيات كروية:

   • للنقطة على الكرة الأولى:
     $\phi_1 = \arcsin\left(\frac{z_1}{R_1}\right), \quad \lambda_1 = \arctan2(y_1, x_1)$
   • للنقطة على الكرة الثانية:
     $\phi_2 = \arcsin\left(\frac{z_2}{R_2}\right), \quad \lambda_2 = \arctan2(y_2, x_2)$
     حيث أن $R_1$ و$R_2$ هما نصف أقطار الكرتين، و$(x_1, y_1, z_1)$ و$(x_2, y_2, z_2)$ هي إحداثيات النقطتين على الكرتين.

2. حساب الزاوية بين النقطتين:
   نستخدم الفارق بين الطول الزاوي والعرض الزاوي لكل نقطة:
   $\Delta\phi = \phi_2 – \phi_1, \quad \Delta\lambda = \lambda_2 – \lambda_1$

3. حساب المسافة بين النقطتين على سطح الكرة:
   $d = R \times \arccos\left(\sin(\phi_1) \times \sin(\phi_2) + \cos(\phi_1) \times \cos(\phi_2) \times \cos(\Delta\lambda)\right)$
   حيث أن $d$ هي المسافة بين النقطتين على سطح الكرة، و $R$ هو نصف قطر الكرة.

4. الحساب النهائي:
   بعد حساب المسافة بين النقطتين على كل كرة، نقارن القيم ونختار أكبر مسافة حيث تمثل أبعد نقطتين على الكرتين.

هذا الحل يعتمد على الفهم الجيومتري لهندسة الكرات والزوايا، واستخدام الرياضيات لحساب المسافات بين النقاط على سطح الكرة.