حساب المحدد وقابلية العكسية (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد قيمة $x$ التي تجعل المصفوفة

غير قابلة للعكس.

لتكون المصفوفة غير قابلة للعكس، يجب أن يكون Determinant (المحدد) الخاص بها يساوي الصفر، أي

نستخدم صيغة المحدد لمصفوفة $2 \times 2$، والتي هي:

لذا، نستخدم القيم المعطاة في المصفوفة الخاصة بنا:

نقوم بحساب المحدد:

لجعل المصفوفة غير قابلة للعكس، يجب أن يكون المحدد يساوي الصفر:

إذاً، القيمة التي تجعل المصفوفة غير قابلة للعكس هي $x = \frac{13}{15}$.

لحل المسألة وتحديد القيمة التي تجعل المصفوفة غير قابلة للعكس، سنستخدم قانون حساب المحدد وشرط عدم قابلية العكسية للمصفوفات.

1. قانون حساب المحدد: المحدد ($\text{det}$) لمصفوفة $2 \times 2$ يحسب بالطريقة التالية:

   $$\text{det}\left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = ad – bc$$

   حيث $a$، $b$، $c$، و $d$ هي عناصر المصفوفة.

2. شرط عدم قابلية العكسية: تكون المصفوفة غير قابلة للعكس عندما يكون محددها يساوي الصفر.

للحصول على القيمة التي تجعل المصفوفة غير قابلة للعكس، سنحسب المحدد للمصفوفة المعطاة ونجعله يساوي الصفر. ثم نحل المعادلة للعثور على القيمة المطلوبة.

المصفوفة المعطاة:

نستخدم قانون حساب المحدد:

ومن ثم نواصل الحساب للحصول على المحدد:

نعتبر المحدد يساوي الصفر ونحل المعادلة:

بالتالي، القيمة التي تجعل المصفوفة غير قابلة للعكس هي $x = \frac{13}{15}$.