حساب المتبقيات باستخدام القسمة (مسألة رياضيات)

المطلوب: حساب المتبقي عند قسمة الناتج من ضرب جميع الأعداد الصحيحة الإيجابية التي تقل عن $4!$ والقابلة للاسترجاع (قابلة للقسمة) على $4!$.

الحل:
نبدأ بحساب $4!$:
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

ثم نحدد الأعداد القابلة للاسترجاع (القابلة للقسمة) على $4!$. الأعداد التي يمكن استرجاعها هي تلك التي لا تحتوي على عوامل مشتركة مع $24$ باستثناء الوحدة. هذه الأعداد هي $1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$.

نقوم بحساب المتبقي عندما نقوم بضرب هذه الأعداد:
$m = 1 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23$

الآن نقوم بحساب هذا المنتج. نبدأ بضرب الأعداد فيما بينها، ونأخذ المتبقي في كل مرة لتجنب الأرقام الكبيرة:

$m \equiv 1 \times 5 \equiv 5 \pmod{24}$
$m \equiv 5 \times 7 \equiv 17 \pmod{24}$
$m \equiv 17 \times 11 \equiv 5 \pmod{24}$
$m \equiv 5 \times 13 \equiv 13 \pmod{24}$
$m \equiv 13 \times 17 \equiv 13 \pmod{24}$
$m \equiv 13 \times 19 \equiv 1 \pmod{24}$
$m \equiv 1 \times 23 \equiv 23 \pmod{24}$

إذاً، المتبقي النهائي عند قسمة $m$ على $4!$ هو $23$.

لحل هذه المسألة، سنقوم بفحص الأعداد الصحيحة الإيجابية التي تقل عن $4!$ والتي تكون قابلة للاسترجاع (قابلة للقسمة) على $4!$. الهدف هو حساب المتبقي عند قسم حاصل الضرب على $4!$.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قاعدة القسمة:
   إذا كانت $a$ و $b$ أعداد صحيحة، وكان $m$ عدد صحيح غير معدوم، فإنه إذا كان $a \equiv b \pmod{m}$، فإن ضرب أي عدد صحيح في $a$ سيكون متطابقًا في المتبقي مع ضرب نفس العدد في $b$ عند قسمهما على $m$.

2. ضرب الأعداد مع استخدام التكرار:
   نقوم بضرب الأعداد بشكل تتابعي، ونأخذ المتبقي في كل خطوة لتجنب الأرقام الكبيرة.

الخطوات في الحل:

أولاً، نحسب $4!$:
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

ثم نحدد الأعداد الصحيحة التي تقل عن $24$ والتي تكون قابلة للاسترجاع. هذه الأعداد هي: $1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$.

نقوم بحساب المتبقي عندما نقوم بضرب هذه الأعداد. في كل خطوة، نستخدم القاعدة الأولى المذكورة أعلاه:

$m \equiv 1 \times 5 \equiv 5 \pmod{24}$
$m \equiv 5 \times 7 \equiv 17 \pmod{24}$
$m \equiv 17 \times 11 \equiv 5 \pmod{24}$
$m \equiv 5 \times 13 \equiv 13 \pmod{24}$
$m \equiv 13 \times 17 \equiv 13 \pmod{24}$
$m \equiv 13 \times 19 \equiv 1 \pmod{24}$
$m \equiv 1 \times 23 \equiv 23 \pmod{24}$

وبالتالي، المتبقي النهائي عند قسم $m$ على $4!$ هو $23$.

القوانين المستخدمة تعتمد على فهم فحص الأعداد بشكل دقيق واستخدام قاعدة القسمة لتحسين العمليات الحسابية.