حساب الكمية النهائية في مسألة تخفيف التركيز

تم تعبئة وعاء بسعة 60 لترًا بالحليب الخالص. يتم سحب 9 لترات من الحليب من الوعاء ويتم استبدالها بالماء. يتم سحب 9 لترات من الحليب الناتج عن هذا الخليط ويتم استبدالها بالماء. ما هي الكمية النهائية من الحليب الخالص في المحلول؟

لنقم بحساب الكمية النهائية للحليب الخالص. في الخطوة الأولى، نقوم بحساب كمية الحليب الباقية بعد إزالة 9 لترات واستبدالها بالماء. هذا يعني أن هناك 60 – 9 لتر من الحليب في الوعاء. في الخطوة التالية، نقوم بحساب كمية الحليب الباقية بعد الخطوة الثانية من الاستبدال. هذا يتم عن طريق ضرب كمية الحليب المتبقية في الوعاء (الذي هو 60 – 9 لتر) في (60 – 9) / 60. هذا لأن كل مرة يتم فيها الاستبدال، يتم الاحتفاظ بنسبة معينة من الحليب الأصلي.

الآن، لنحسب الكمية النهائية للحليب الخالص. في الخطوة الثانية، نقوم بضرب الكمية الحالية من الحليب في الوعاء (الذي هو (60 – 9) / 60) في (60 – 9) / 60 مرة أخرى. هذا يمثل النسبة المتبقية من الحليب بعد الخطوة الثانية.

إذاً، الكمية النهائية للحليب الخالص يمكن حسابها كالتالي:

$\text{الكمية النهائية} = (60 – 9) \times \left( \frac{60 – 9}{60} \right)^2$

قم بحساب القيمة لتحديد الكمية النهائية للحليب الخالص.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم تخفيف التركيز (Dilution). القاعدة الأساسية هي أن كمية المادة الموجودة في الحل تتناسب طرديًا مع حجم الحل. نستخدم القاعدة التالية لحساب الكمية النهائية للحليب الخالص:

$\text{الكمية النهائية} = \text{الكمية الأصلية} \times \left( \frac{\text{الحجم الأصلي} – \text{المزيج المستبدل}}{\text{الحجم الأصلي}} \right)^{\text{عدد مرات الاستبدال}}$

في هذه المسألة:

1. الكمية الأصلية للحليب الخالص: 60 لتر (حيث أن الوعاء ممتلئ بالحليب في البداية).
2. الحجم الأصلي للحليب في الوعاء: 60 لتر.
3. المزيج المستبدل في كل مرة: 9 لتر (الكمية التي تم استبدالها بالماء في كل مرة).
4. عدد مرات الاستبدال: 2 (لأن هناك خطوتين من الاستبدال).

وبناءً على القاعدة السابقة، يمكننا حساب الكمية النهائية للحليب الخالص باستخدام الصيغة:

$\text{الكمية النهائية} = 60 \times \left( \frac{60 – 9}{60} \right)^2$

تطبيق الحسابات:

$\text{الكمية النهائية} = 60 \times \left( \frac{51}{60} \right)^2$

$\text{الكمية النهائية} = 60 \times \left( \frac{2601}{3600} \right)$

$\text{الكمية النهائية} = \frac{60 \times 2601}{3600}$

$\text{الكمية النهائية} = \frac{156060}{3600}$

$\text{الكمية النهائية} = 43.35$

لذا، الكمية النهائية للحليب الخالص هي 43.35 لتر. تمثل هذه القاعدة تخفيف التركيز المفهوم الأساسي للعمليات التي تشمل استبدال محتوى الحل بمحتوى جديد.