حساب القيمة المتوقعة في الألعاب: مسألة الكرات الخضراء والبنفسجية (مسألة رياضيات)

في سلة، هناك 5 كرات خضراء وعدد صحيح موجب غير معروف من كرات بنفسجية يُمثله k. يتم سحب كرة بشكل عشوائي من السلة. إذا تم سحب كرة خضراء، يفوز اللاعب بمبلغ 2 دولار. وإذا تم سحب كرة بنفسجية، يخسر اللاعب 2 دولار. إذا كان المبلغ المتوقع للفوز في اللعبة هو 50 سنتاً، ما قيمة k؟

لنقم بحساب قيمة المبلغ المتوقع للفوز في اللعبة.

المبلغ المتوقع للفوز = (احتمال الفوز بكرة خضراء × المكافأة عند الفوز بكرة خضراء) + (احتمال الخسارة بكرة بنفسجية × المكافأة عند الخسارة بكرة بنفسجية)

الانطلاق من الواقع أن احتمال سحب كرة خضراء هو 5 من إجمالي عدد الكرات (5 + k) واحتمال سحب كرة بنفسجية هو k من إجمالي عدد الكرات.

إذاً، الاحتمالات معروفة على النحو التالي:

• احتمال الفوز بكرة خضراء = 5 / (5 + k)
• احتمال الخسارة بكرة بنفسجية = k / (5 + k)

والآن يمكننا حساب المبلغ المتوقع للفوز:

المبلغ المتوقع للفوز = (5 / (5 + k)) × 2 – (k / (5 + k)) × 2

وهذا المبلغ المتوقع يساوي 50 سنتاً وهو ما ورد في السؤال.

إذاً، لدينا المعادلة التالية:

$2 \times \frac{5}{5+k} – 2 \times \frac{k}{5+k} = 0.5$

الآن يجب حل المعادلة للعثور على قيمة k.

قم بحل المعادلة:

$2 \times \frac{5}{5+k} – 2 \times \frac{k}{5+k} = 0.5$

$\frac{10}{5+k} – \frac{2k}{5+k} = 0.5$

$\frac{10 – 2k}{5+k} = 0.5$

$10 – 2k = 0.5(5 + k)$

$10 – 2k = 2.5 + 0.5k$

$10 – 2.5 = 2.5k + 2k$

$7.5 = 4.5k$

$k = \frac{7.5}{4.5}$

$k = \frac{5}{3}$

إذاً، قيمة k هي 5/3 أو 1.67.

لحل هذه المسألة، استخدمنا مفهوم المبلغ المتوقع للفوز في اللعبة. هذا المفهوم يقوم على فكرة تقدير المتوسط ​​المالي الذي يمكن للاعب أن يتوقعه من اللعبة.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. احتمالات الحدوث: نحتسب الاحتمالات لسحب كرة خضراء وسحب كرة بنفسجية.
2. قاعدة المبلغ المتوقع: هذه القاعدة تقول إن المبلغ المتوقع للفوز في اللعبة يساوي مجموع ضرب الاحتمالات بالمكافأة لكل نتيجة محتملة.

الخطوات التفصيلية لحل المسألة:

1. تحديد الاحتمالات: نعرف أن احتمال سحب كرة خضراء هو 5/(5+k) واحتمال سحب كرة بنفسجية هو k/(5+k).
2. حساب المبلغ المتوقع للفوز: نستخدم قاعدة المبلغ المتوقع للفوز لحساب القيمة المالية المتوقعة للفوز في اللعبة.
3. حل المعادلة: بعد وضع المبلغ المتوقع للفوز في اللعبة يساوي 0.5، نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة k.

باختصار، استخدمنا القوانين الأساسية لاحتمالات الحدوث وقاعدة المبلغ المتوقع للفوز لحساب القيمة المطلوبة. ثم قمنا بحل المعادلة للعثور على القيمة الصحيحة لـ k.