حساب القيمة الصغرى باستخدام الإشتقاقات (مسألة رياضيات)

للعثور على القيمة الصغرى للتعبير الرياضي $4x^5 + 5x^{-4}$، نستخدم أسلوب الحساب التفاضلي. لنبدأ بحساب الإشتقاق الأول للتعبير بالنسبة للمتغير $x$.

لدينا:
$f(x) = 4x^5 + 5x^{-4}$

نقوم بحساب الإشتقاق الأول:
$f'(x) = 20x^4 – 20x^{-5}$

ثم نقوم بحل المعادلة التي تمثل نقاط الإنقلاب حيث يكون الإشتقاق الأول يساوي صفر:
$20x^4 – 20x^{-5} = 0$

نقوم بتحليل الحلول للمعادلة ونجد أنه يمكن أن يكون $x=1$ أو $x=-1$ لأننا نتحدث عن الأعداد الحقيقية الإيجابية فقط، لكن نحن بحاجة إلى التحقق من القيمة المحلولة هل هي قيمة صغرى أم لا. لذا، نقوم بفحص الإشتقاق الثاني لنحدد طبيعة نقطة الإنقلاب.

نقوم بحساب الإشتقاق الثاني:
$f”(x) = 80x^3 + 100x^{-6}$

نستخدم قاعدة الإشارة لتحديد طبيعة نقطة الإنقلاب. إذا كانت القيمة الثانية إيجابية، فإن نقطة الإنقلاب هي نقطة صغرى. إذا كانت سالبة، فإن نقطة الإنقلاب هي نقطة قصوى.

نلاحظ أن $f”(1) = 80 + 100 > 0$، وأيضاً $f”(-1) = -80 + 100 > 0$، لذا نقطة الإنقلاب تكون نقطة صغرى.

بالتالي، قيمة $4x^5 + 5x^{-4}$ تكون صغرى عند $x=1$، ونقوم بحسابها:

$f(1) = 4(1)^5 + 5(1)^{-4} = 4 + 5 = 9$

إذا كانت الإجابة الصحيحة للمسألة هي 9.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق قوانين الجبر وتقنيات الحساب التفاضلي. سنستخدم الإشتقاق الأول والثاني للتعبير الرياضي لتحديد نقاط الإنقلاب والقيمة الصغرى.

التعبير الرياضي هو:
$f(x) = 4x^5 + 5x^{-4}$

نبدأ بحساب الإشتقاق الأول:
$f'(x) = 20x^4 – 20x^{-5}$

ثم نقوم بحل المعادلة $f'(x) = 0$ للعثور على نقاط الإنقلاب. المعادلة تصبح:
$20x^4 – 20x^{-5} = 0$

حللنا هذه المعادلة للعثور على $x = 1$ و $x = -1$ كنقاط إنقلاب. نقوم بفحص الإشتقاق الثاني لتحديد طبيعة هذه النقاط.

نحسب الإشتقاق الثاني:
$f”(x) = 80x^3 + 100x^{-6}$

نقوم بتقييم $f”(1)$ و $f”(-1)$ لتحديد إن كانت النقاط نقاط صغرى أو قصوى. نجد أن $f”(1) = 80 + 100 > 0$ وأيضاً $f”(-1) = -80 + 100 > 0$، إذا كانت نقاط إنقلاب.

لتحديد ما إذا كانت هذه النقاط صغرى أو قصوى، نستخدم قاعدة الإشارة. إذا كانت الإشتقاق الثاني إيجابيّة، فإن النقطة هي نقطة صغرى. إذا كانت سالبة، فإن النقطة هي نقطة قصوى.

بعد التحليل، نجد أن نقطتي $x = 1$ و $x = -1$ هما نقطتي إنقلاب وصغرى. لذا، نقوم بحساب قيمة التعبير الرياضي في $x = 1$:
$f(1) = 4(1)^5 + 5(1)^{-4} = 4 + 5 = 9$

لذا، القيمة الصغرى للتعبير $4x^5 + 5x^{-4}$ عندما يكون $x$ عددًا حقيقيًا إيجابيًا هي 9.

في هذا الحل، استخدمنا قوانين الجبر لحساب الإشتقاقات وحل المعادلات. أيضا، استخدمنا قاعدة الإشارة لتحديد طبيعة نقاط الإنقلاب، وبناءً على ذلك تحديد ما إذا كانت هذه النقاط صغرى أو قصوى.