حساب القوى واللوغاريتمات (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة $X$ في المعادلة $\log_8 X = \frac{1}{3}$.

لفهم ذلك، يمكننا استخدام تعريف اللوغاريتمات. لوغاريتم قاعدة 8 للعدد $X$ تساوي $\frac{1}{3}$. وهذا يعني أن قاعدة اللوغاريتم هي 8، والناتج هو $\frac{1}{3}$.

نعرف أيضًا أنه إذا كان $\log_a b = c$، فإن $a^c = b$. بالتالي، إذا كان $\log_8 X = \frac{1}{3}$، فإن $8^\frac{1}{3} = X$.

نعرف أن $8 = 2^3$. بما أن الجذر الثالث للعدد 8 يساوي 2، فإن $8^\frac{1}{3} = 2$.

لذا، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي 2.

لنقوم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين المتعلقة باللوغاريتمات والأسس.

المسألة تطلب منا حساب قيمة $X$ في المعادلة $\log_8 X = \frac{1}{3}$.

قانون اللوغاريتمات يقول:

إذا كان $\log_a b = c$، فإنه يعني أن $a^c = b$.

في حالتنا، $\log_8 X = \frac{1}{3}$، إذن $8^\frac{1}{3} = X$.

نستخدم قاعدة أخرى، وهي أن 8 يمكن تعبيره على شكل أساس 2، لأن $8 = 2^3$.

لذلك، $8^\frac{1}{3}$ يمكن أن نعبر عنه بالتالي: $(2^3)^\frac{1}{3}$.

ونعلم أن قاعدة الأس المرفوع لأس أخرى تكون المجموع، أي $(a^m)^n = a^{m \times n}$.

وبالتالي، $(2^3)^\frac{1}{3} = 2^{3 \times \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$.

لذا، قيمة $X$ في المعادلة هي 2.

القوانين المستخدمة:

1. قانون تحويل اللوغاريتم إلى قوة: $\log_a b = c$ يعني $a^c = b$.
2. قاعدة التحويل بين القوى عندما يكون الأس أساسه عدد آخر: $(a^m)^n = a^{m \times n}$.

باستخدام هذه القوانين، نستطيع التعبير عن العلاقة بين اللوغاريتم والقوة وحل المعادلات بناءً على ذلك.